# Monotonie des Integrals der Treppenfunktion

### <u>Satz</u> (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion)

Sind $f, g \in \mathcal{TF}([a, b])$ zwei Treppenfunktionen mit $f \le g$. Dann gilt

$$\int_{a}^{b} f\,dx \le \int_{a}^{b} g\,dx$$

Insbesondere impliziert $f \in \mathcal{TF}([a,b])$ und $f \ge 0$, dass $\int_{a}^{b} f\,dx \ge 0$.

### <u>Beweis</u> (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion)

Wir können für $f, g \in \mathcal{TF}([a,b])$ eine gemeinsame Zerlegung $\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b\}$ in Konstanzintervalle finden. Wir schreiben $c_{1},...,c_{n}$ und $d_{1},...,d_{n}$ für die Konstanzwerte von $f$ respektive $g$ bezüglich $\zeta$. Falls nun $f \le g$ ist, dann ist $c_{k} \le d_{k}$ für alle $k \in \{1,...,n\}$ und wir erhalten

$$\int_{a}^{b} f\,dx = I(f, \zeta) = \sum_{k=1}^{n} c_{k}\Delta x \le \sum_{k=1}^{n}d_{k}\Delta x = I(g, \zeta) = \int_{a}^{b}g\,dx$$
Die zweite Aussage folgt aus der ersten angewendet auf 0 und $f$.