### <u>Satz</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\\mathbb{R}^n$)
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### <u>Satz</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\mathbb{R}^n$)
Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ offen und $f: U \mapsto \mathbb{R}$ differenzierbar. Sei $x_0 \in U$ und $h \in \mathbb{R}^n$. Falls $x_0 + th \in U$ für alle $t \in [0,1]$, dann gilt
@@ 8,7 8,7 @@
für ein $\varepsilon = x_0 + t_\varepsilon h$ mit $t_\varepsilon \in (0,1)$.
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### <u>Beweis</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\\mathbb{R}^n$)
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### <u>Beweis</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\mathbb{R}^n$)
Wir bemerken, dass die Ableitung des geraden Weges $t \in \mathbb{R} \mapsto x_0 + th$ für vorgegebene $x_0,h \in \mathbb{R}^n$ bei jedem $t$ gleich $h$ ist. Daher erfüllt die Funktion