Commit 48eae3
2024-11-12 23:02:34 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/konvergenz von teilfolgen.md | |
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| + | # Konvergenz von Teilfolgen |
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| + | ### <u>Satz</u> (Konvergenz von Teilfolgen) |
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| + | Für jede konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k}$ einer beschränkten, reelen Fole $(a_{n})$ gilt |
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| + | $$\liminf_{n \to \infty} a_{n_{k}} \in [\liminf_{n \to \infty} a_{n}, \limsup_{n \to \infty} a_{n}]$$ |
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| + | Des weiteren existiert eine konvergente Teilefolge $(a_{n_{k}})_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = \limsup_{n \to \infty} a_{n}$ und eine konvergente Teilfolge $(a_{m_{k}})_{k}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_{m_{k}} = \liminf_{n \to \infty} a_{n}$. |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Konvergenz von Teilfolgen) |
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| + | Sei $(a_{n_{k}})_{k}$ eine konvergente Teilfolge von $(a_{n})_{n}$, $I = \liminf_{n \to \infty} a_{n}$, $S = \limsup_{n \to \infty} a_{n}$ und $\epsilon > 0$. Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft des Limes Superior ein $N \in \mathbb{N}$, sodass |
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| + | $$a_{n} \le S + \epsilon$$ |
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| + | für alle $n \ge N$. Wenn nötig können wir $N$ noch so groß wählen, sodass ebenso gilt |
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| + | $$a_{n} \ge I - \epsilon$$ |
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| + | für alle $n \ge N$. |
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| + | Für den Limes der Folge $(a_{n_{k}})_{k}$ ergibt sich daraus |
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| + | $$I - \epsilon \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le I + \epsilon$$ |
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| + | Da $\epsilon > 0$ beliebig war und $\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}}$ nicht von $\epsilon$ abhängt, ergibt sich daraus $I \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le S$, wie im Satz behauptet wurde. $\square$ |