Commit 6097b0
2024-11-12 22:24:21 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/konvergenz von monotonen funktionen.md | |
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| + | # Konvergenz von monotonen Funktionen |
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| + | ### <u>Satz</u> (Konvergenz von monotonen Funktionen) |
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| + | Eine monotone, reelle Folge $(a_{n})_{n}$ konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Konvergenz von monotonen Funktionen) |
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| + | Falls $(a_{n})_{n}$ konvergent ist, ist $(a_{n})_{n}$ beschränkt. Sei also $(a_{n})_{n}$ eine beschränkte, reelle Folge. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass $(a_{n})_{n}$ monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir $(a_{n})_{n}$ durch $(-a_{n})_{n}$ ). Sei $a = \sup\{ a_{n}\;\;|\;\;n \in \mathbb{R}\}$. Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ mit $a_{N} > a + \epsilon$. Für $n \ge N$ folgt damit aus der Monotonie von $(a_{n})_{n}$ dass |
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| + | $$a - \epsilon < a_{N} \le a_{n} \le a < a + \epsilon$$ |
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| + | was zu zeigen war. $\square$ |