Commit 70c51c
2024-11-12 22:32:39 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/monotonie des integrals der treppenfunktion.md | |
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| + | # Monotonie des Integrals der Treppenfunktion |
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| + | ### <u>Satz</u> (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion) |
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| + | Sind $f, g \in \mathcal{TF}([a, b])$ zwei Treppenfunktionen mit $f \le g$. Dann gilt |
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| + | $$\int_{a}^{b} f\,dx \le \int_{a}^{b} g\,dx$$ |
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| + | Insbesondere impliziert $f \in \mathcal{TF}([a,b])$ und $f \ge 0$, dass $\int_{a}^{b} f\,dx \ge 0$. |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion) |
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| + | Wir können für $f, g \in \mathcal{TF}([a,b])$ eine gemeinsame Zerlegung $\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b\}$ in Konstanzintervalle finden. Wir schreiben $c_{1},...,c_{n}$ und $d_{1},...,d_{n}$ für die Konstanzwerte von $f$ respektive $g$ bezüglich $\zeta$. Falls nun $f \le g$ ist, dann ist $c_{k} \le d_{k}$ für alle $k \in \{1,...,n\}$ und wir erhalten |
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| + | $$\int_{a}^{b} f\,dx = I(f, \zeta) = \sum_{k=1}^{n} c_{k}\Delta x \le \sum_{k=1}^{n}d_{k}\Delta x = I(g, \zeta) = \int_{a}^{b}g\,dx$$ |
| + | Die zweite Aussage folgt aus der ersten angewendet auf 0 und $f$. |