Commit 88197e
2024-11-12 23:26:45 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/mehrdimensionaler mittelwertsatz.md | |
| @@ 0,0 1,22 @@ | |
| + | # Mehrdimensionaler Mittelwertsatz |
| + | |
| + | ### <u>Satz</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\\mathbb{R}^n$) |
| + | |
| + | Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ offen und $f: U \mapsto \mathbb{R}$ differenzierbar. Sei $x_0 \in U$ und $h \in \mathbb{R}^n$. Falls $x_0 + th \in U$ für alle $t \in [0,1]$, dann gilt |
| + | |
| + | $$f(x_0+h)- f(x_0) = D_\varepsilon f(h) = \partial_hf(\varepsilon) $$ |
| + | |
| + | für ein $\varepsilon = x_0 + t_\varepsilon h$ mit $t_\varepsilon \in (0,1)$. |
| + | |
| + | ### <u>Beweis</u> (Mittelwertsatz für Funktionen auf $\\mathbb{R}^n$) |
| + | |
| + | Wir bemerken, dass die Ableitung des geraden Weges $t \in \mathbb{R} \mapsto x_0 + th$ für vorgegebene $x_0,h \in \mathbb{R}^n$ bei jedem $t$ gleich $h$ ist. Daher erfüllt die Funktion |
| + | |
| + | $$g : t \in [0,1] \mapsto f(x_0+th) \in \mathbb{R}$$ |
| + | |
| + | auf Grund der Kettenregel alle vorraussetzungen des eindimensionalen Mittelwertsatzes. |
| + | Also existiert ein $t_\varepsilon \in (0,1)$ mit $g(1) - g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_{x_0+t_\varepsilon h} f(h)$ nach der Kettenregel und somit |
| + | |
| + | $$f(x_0+h) -f (x) = g(1)-g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_\varepsilon f(h)$$ |
| + | |
| + | für $\varepsilon = x_0 + t_\epsilon h. \square$ |