Commit a25814
2024-11-12 23:06:13 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/mittelwersatz der integralrechnung.md | |
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| + | # Mittelwersatz der Integralrechnung |
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| + | ### <u>Satz</u> (Mittelwersatz der Integralrechnung) |
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| + | Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a < b$ und $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ stetig. Dann existiert ein $\epsilon \in (a,b)$ mit |
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| + | $$\int_a^b f(x)\,dx = f(\epsilon)(b-a).$$ |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Mittelwersatz der Integralrechnung) |
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| + | Nach dem Extremwertsatz nimmt die stetige Funktion $f$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ ihr Minimum $m \in \mathbb{R}$ und ihr Maximum $M \in \mathbb{R}$ an. Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt |
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| + | $$\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b m\,dx = (b-a)\cdot m$$ |
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| + | $$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b M\,dx = (b-a)\cdot M$$ |
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| + | Wir erhalten also: |
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| + | $$m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \le M$$ |
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| + | Somit gibt es nach dem [[Zwischenwertsatz|Mathematik/Zwischenwertsatz]] ein $\epsilon \in [a,b]$ mit |
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| + | $$f(\epsilon) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$$ |
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| + | $$\implies (b-a) \cdot f(\epsilon) = \int_a^b f(x)\,dx. \square$$ |