Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $a < b$ und $f(a) \le f(b)$ gilt (falls $f(a) \ge f(b)$), betrachtet man $-f$ ). Sei nun $c \in [f(a), f(b)]$. Falls $c = f(a)$ oder $c = f(b)$ gilt, sind wir fertig. Also angenommen $c \in (f(a), f(b))$. Wir definieren
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$$ X = \\{x \in [a,\:b]\;|\;f(x) \le c \\}$$
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$$ X = \\{x \in [a:b]\\;|\\;f(x) \le c \\}$$
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und bemerken, dass $a \in X$ und $X \subseteq [a, b]$, wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Mit dem Satz über die Existenz des Supremums existiert daher $x_{0} = sup(X) \in [a, b]$.
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und bemerken, dass $a \in X$ und $X \subseteq [a, b]$, wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Mit dem Satz über die Existenz des Supremums existiert daher $x_{0} = \text{sup}(X) \in [a, b]$.
Wir verwenden nun die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$, um zu zeigen, dass $f(x_{0}) = c$. Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, so dass für alle $x \in [a, b]$ gilt:
Also muss $x$ in $X$ liegen, was aber $sup(X) = x_{0} < x$ widerspricht.
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Also muss $x$ in $X$ liegen, was aber $\text{sup}(X) = x_{0} < x$ widerspricht.
2. Angenommen $f(x_{0}) > c$. Dann folgt $x_{0} > a$ wegen wegen $f_{a} < c$. Wir verwenden erneut die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$ und finden für $\epsilon = f(x_{0}) - c$ ein $\delta > 0$, dass die Stetigkeits-Definition von vorhin erfüllt. Für $x \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \cap [a ,b]$ gilt dadurch
wodurch $x \notin X$ und daher $(x_{0} - \delta, x_{0}) \cap [a, b] \cap X = \varnothing$. Also ist $x - \delta$ eine obere Schranke von $X$, was aber $x_{0} = sup(X)$ widerspricht. Daher gilt $f(x_{0}) = c$ und der Satz folgt. $\square$
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wodurch $x \notin X$ und daher $(x_{0} - \delta, x_{0}) \cap [a, b] \cap X = \varnothing$. Also ist $x - \delta$ eine obere Schranke von $X$, was aber $x_{0} = \text{sup}(X)$ widerspricht. Daher gilt $f(x_{0}) = c$ und der Satz folgt. $\square$