Banachscher Fixpunktsatz

Satz (Banachscher Fixpunktsatz)

Sei \((X,d)\) ein nicht-leerer, vollständiger metrischer Raum. Sei \(T: X \mapsto X\) eine Lipschitz-Kontraktion, d.h., eine Abbildung mit der Eigenschaft

\[d(T(x_1),T(x_2)) \leq \lambda d(x_1,x_2)\]

für alle \(x_1,x_2 \in X\) und für eine Lipschitz-Konstante \(\lambda < 1\). Dann existiert ein eindeutig bestimmtes \(x_0 \in X\) mit \(T(x_0) = x_0\) (ein Fixpunkt von T).

Beweis (Banachscher Fixpunktsatz)

Wir zeigen zuerst die behauptete Eindeutigkeut. Seien also \(x_0, x'_0 \in X\) zwei Fixpunkte von T. Dann gilt

\[d(x_0, x'_0) = d(T(x_0),T(x'_0)) \leq \lambda d(x_0,x'_0),\]

was wegen \(\lambda < 1\) also \(d(x_0,x'_0) = 0\) und somit \(x_0 = x'_0\) impliziert. Für die Existenz wählen wir ein beliebiges \(x_1 \in X\) und definieren rekursiv \(x_2 = T(x_1), x_3 = T(x_2)\) und allgemein \(x_{n+1} = T(x_n)\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Wir möchten nun zeigen, dass die Folge \((x_n)_n\) konvergiert. In der Tat ist der Grenzwert \(x_0\) dann ein Fixpunkt, denn es gilt

\[x_0 = \lim_{n \mapsto \infty} x_n = \lim_{n \mapsto \infty} x_{n+1} = \lim_{n \mapsto \infty}T(x_n) = T (\lim_{n \mapsto \infty} x_n ) = T(x_0),\]

da \(T: X \mapsto X\) Lipschitz-stetig und somit auch stetig ist. Wir bemerken zuerst, dass \(d(x_2,x_3) = d(T(x_1),T(x_2)) \leq \lambda d(x_1,x_2)\) und allgemeiner

\[d(x_n,x_{n+1}) \leq \lambda^{n-1}d(x_1,x_2)\]

für alle \(x \in \mathbb{N}\). In der Tat folgt aus der obigen Ungleichung mittels Induktion \(n\). Für \(n = 1\) ist die Ungleichung tautologisch erfüllt. Falls die Ungleichung bereits für \(n\) gilt, dann folgt

\[d(x_{n+1},x_{n+2}) = d(T(x_n),T(x_{n+1})) \leq \lambda d(x_n,x_{n+1}) \leq \lambda^{n} d(x_1,x_2)\]

nach Konstruktion, der Vorraussetzung im Satz und der Induktionsverankerung. Wir behaupten nun, dass die Ungleichung impliziert, dass \((x_n)_n\) eine Cauchy-Folge in \(X\) bildet. Daraus folgt mit der vorausgesetzten Vollständigkeit, dass ein Grenzwert \(x_0\) der Folge \((x_n)_n\) existiert, was den Beweis abschliesst. Sei \(\epsilon > 0\). Dann existiert ein \(N \in \mathbb{N}\) mit \(\frac{\lambda^{N-1}}{1- \lambda}d(x_1,x_2) < \epsilon.\) Für \(n > m \geq N\) folgt damit

\[d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x_{m+1}) + d(x_{m+1},x_{m+2}) + ... +d(x_{n-1},x_n)\] \[\leq \lambda^{m-1}d(x_1,x_2) + \lambda^m d(x_1,x_2) + ... + \lambda^{n-2} d(x_1, x_2)\] \[\leq \sum_{k = N}^{\infty} \lambda^{k-1} d(x_1,x_2) = \frac{\lambda^{N-1}}{1-\lambda} d(x_1,x_2) < \epsilon \:\:\:\square\]