Cauchy-Kriterium für Folgen

Satz (Cauchy Kriterium für Folgen)

Eine reele Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Beweis (Cauchy Kriterium für Folgen)

Angenommen \((a_{n})_{n}\) ist eine reele Folge mit \(a_{n} \to A \in \mathbb{R}\) für \(n \to \infty\). Sei \(\epsilon > 0\). Dann existiert ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass für alle \(n \ge N\) gilt \(|A - a_{n}| < \frac{\epsilon}{2}\). Für \(m, n \ge N\) gilt somit auch

\[|a_{m} - a_{n}| \le |a_{m} - A| + |A - a_{n}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]

Dies beweist, dass \((a_{n})_{n}\) eine Cauchy-Folge ist. Sei nun umgekehrt \((a_{n})_{n}\) eine Cauchy-Folge. Für \(\epsilon = 1\) existiert dann ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass \(|a_{m} - a_{n}| < 1\) für \(m, n \ge N\). Insbesondere gilt also

\[|a_{n}| \le |a_{n} - a_{N}| + |a_{N}| < 1 + |a_{N}|\]

für alle \(n \ge N\). Daher ist \((a_{n})_{n}\) eine beschränkte Folge. Des weiteren existiert nach Annahme für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass \(|a_{m}-a_{n}| < \epsilon\) für alle \(m,n \ge N\). Wir setzen \(m = N\) und erhalten

\[a_{m} - \epsilon < a_{n} < a_{m} + \epsilon\]

Wir betrachten nun Limes Inferior und Limes Superior der Folge und erhalten

\[a_{m} - \epsilon \le \liminf_{n \to \infty} a_{n} \le \limsup_{n \to \infty} a_{n} \le a_{n} + \epsilon\]

Insbesondere gilt \(|\liminf_{n \to \infty} a_{n} - \limsup_{n \to \infty} a_{n}| \le 2\epsilon\). Da aber \(\epsilon > 0\) belibig war, erhalten wir Gleichheit von Limes Superior und Limes Inferior und daher die Konvergenz der Folge. \(\square\)