Divergenzsatz für Bereiche unter Graphen
Satz (Divergenzsatz für Bereiche unter Graphen)
Sei \(U \in \mathbb{R}^2\) offen und \(f\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf \(U\). Seien \(a < b\) und \(c < d\) reelle Zahlen, sodass \([a,b] \times [c,d] \subseteq U\) ist, und sei \(\varphi : [a,b] \mapsto [c,d]\) stetig und stückweise stetig differenzierbar. Für den Bereich
\[B = \{(x,y) \in U :|: x\in [a,b], :c \leq y \leq \varphi(x)\}\]gilt dann
\[\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{dn}\]Beweis (Divergenzsatz für Bereiche unter Graphen)
Wir nehmen o.B.d.A. an, dass \(\varphi\) auf ganz \([a,b]\) stetig differenzierbar ist. In der Tat, falls \(\varphi\) nur stückweise stetig differenzierbar ist, so zeteilen wir das Intervall \([a,b]\) in Teilintervalle, auf welchen \(\varphi\) stetig differenzierbar ist. Wir definieren das Rechteck \(Q = [a,b] \times [c,d]\) sowie
\[M = \max\{||f(x,y)||, \text{ |div}(f)(x,y)|, \:|\varphi'(x)| \:|\: (x,y) \in [a,b] \times [c,d]\}\]Sei \(\varepsilon > 0\). Wir wählen zuerst ein \(\eta < \varepsilon\) nach der gleichmässigen Stetigkeit von \(f_1\) und \(f_2\) auf \(Q\), so dass für alle \((x,y),(\tilde{x},\tilde{y}) \in Q\) mit \(||(x,y) - (\tilde{x},\tilde{y})||_{\infty} < \eta\) die Abschätzungen
\[|f_1(x,y)-f_1(\tilde{x},\tilde{y})| < \varepsilon, \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |f_2(x,y) - f_2(\tilde{x},\tilde{y})| < \varepsilon\]gelten. Des Weiteren wählen wir nach der gleichmässigen Stetigkeit von \(\varphi, \varphi'\) ein \(\delta < \eta\), so dass für \(x,\tilde{x} \in [a,b]\) mit \(|x-\tilde{x}| < \delta\) auch
\[|\varphi(x)- \varphi(\tilde{x})| < \eta < \varepsilon \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\varphi'(x) - \varphi'(\tilde{x})| < \varepsilon\]gilt. Sei \(\zeta = \{a = x_0 < ... < x_J = b \}\) eine Zerlegung von \([a,b]\) mit Maschenweite kleiner als \(\delta.\) Wir zerlegen B in dünne Streifen \(B_1,...,B_J\), wobei
\[B_j = B \cap([x_{j-1},x_j] \times \mathbb{R}) = {(x,y) \in U :|:x \in [x_{j-1},x_j], :x \leq y \leq \varphi(x)}\]für \(j = 1,...,J\). Auch definieren wir
\[Q_j = [x_{j-1},x_j] \times [c, \varphi(x_{j-1})]\]für \(j = 1,...,J\). Nach Wahl von \(\delta\) und der Zerlegung \(\zeta\) erhalten wir die Abschätzung
\[\text{vol}(B_j\Delta Q_j) \leq \varepsilon(x_j- x_{j-1})\]Hierbei bezeichnet \(B_j\Delta Q_j =(B_j \setminus Q_j) \cup (Q_j \setminus B_j)\) die symmetrische Differenz. Daher gilt auch
\[\Bigg |\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} - \sum_{j = 1}^J \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} \Bigg| \leq \sum_{j = 1}^J \Bigg | \int_{B_j} \text{div}(f) \text{ dvol}- \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} \Bigg |\] \[\leq \sum_{j=1}^J M \varepsilon(x_j-x_{j-1}) = M(b-a)\varepsilon.\]Insbesondere strebt das Flächenintegral über \(\bigcup\limits_{j=1}^{J} Q_{j}\) für \(\varepsilon \to 0\) gegen das Flächenintegral über \(B\). Dann erhalten wir
\[\sum_{j=1}^{J} \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} = \sum_{j=1}^{J} \int_{\partial Q_j} f \:\cdot\: ß \text{ dn}\]Weiter vereinfachen ergibt
\[\sum_{j=1}^{J} \int_{\partial Q_j} f \:\cdot\: \text{dn} = - \int_a^b f_2(x,c) \text{d}x + \int_c^{\varphi(b)} f_1(b,y) \text{d}y - \int_c^{\varphi(a)} f_1(a,y) \text{d}y\] \[\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: + \sum_{j=1}^{J} \int_{x_{j-1}}^{x_j} f_2(x, \varphi(x_{j-1}) \text{ d}x - \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y \]da sich die Integrale über die "unteren Ränder" zu einem Integral zusammenfügen und sich das Integral über den "rechten Rand" von \(Q_j\) zum Teil mit dem Integral über den "linken Rand" von \(Q_{j+1}\) weghebt. Die ersten drei Integrale stimmen bereits mit drei Integralen in der Definition \(\int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{ dn}\) überein. Es bleibet also die verbleibenden Ausdrücke ab dem Summenzeichen mit dem Integral
\[\int_a^b \Big\langle f(x,\varphi(x)), \begin{pmatrix} -\varphi'(x) \ 1 \end{pmatrix} \Big\rangle \text{ d}x = \int_a^b f_2(x,\varphi (x)) \text{ d}x - \int_a^b f_1(x,\varphi(x)) \varphi'(x) \text{ d}x\]in der Definition von \(\int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{ dn}\) zu vergleichen. Dabei erhalten wir
\[\Bigg | \sum_{j=1}^{J} \int_{x_j - 1}^{x_j} f_2(x,\varphi(x_{j-1})) \text{ d}x - \int_a^b f_2(x, \varphi(x)) \text{ d}x \Bigg |\] \[\leq \sum_{j=1}^{J} \int_{x_j - 1}^{x_j} |f_2(x,\varphi(x_{j-1})) - f_2(x, \varphi(x)) | \text{ d}x \leq \varepsilon(b-a)\]wegen \(|\varphi(x_{j-1}) - \varphi(x)| < \eta\) für \(x \in [x_{j-1},x_j]\) nach Wahl von \(\delta\). Für die zweite Summe verwenden wir widerum den Mittelwertsatz und erhalten ein \(\xi_j \in [x_{j-1},x_j]\) mit
\[\Bigg |\int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y - f_1(x_j, \varphi(x_j)) (\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})) \Bigg |\] \[= \Bigg |\int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) - f_1(x_j, \varphi(x_j))) \text{ d}y \Bigg |\] \[\leq \varepsilon |\varphi(x_j)-\varphi (x_{j-1})| = \varepsilon |\varphi'(\xi_j)(x_j-x_{j-1})|\] \[\leq \varepsilon M(x_j-x_{j-1}).\]Ebenso gilt aufgrund des Fundamentalsatzes des Differential und Integralrechnung die Abschätzung
\[\Bigg |\int_{x_{j-1}}^{x_j} f_1(x, \varphi(x))\varphi'(x) \text{ d}x - f_1(x_j, \varphi(x_j)) (\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})) \Bigg |\] \[= \Bigg |\int_{x_{j-1}}^{x_j} f_1(x, \varphi(x)) - f_1(x_j, \varphi(x_j)) \varphi'(x) \text{ d}x \Bigg |\] \[\leq \varepsilon M (x_j-x_{j-1})\]Kombinieren wir beide Abschätzungen und summieren über \(j \in \{1,...,J\}\), so erhalten wir
\[\Bigg | \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y - \int_a^b f_1(x,\varphi(x))\varphi'(x) \text{ d}x \Bigg | \leq 2\varepsilon M (b-a).\]Ingesamt haben wir also gezeigt, dass
\[\sum_{j=1}^{J} \int_{x_{j-1}}^{x_j} f_2(x,\varphi(x_{j-1})) \text{ d}x - \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y \]für \(\varepsilon \to 0\) gegen
\[\int_a^b \Big\langle f(x,\varphi(x)), \begin{pmatrix} -\varphi'(x) \ 1 \end{pmatrix} \Big\rangle \text{ d}x\]strebt. Dies impliziert die Proposition in dem Fall einer stetig differenzierbaren Funktion \(\varphi\) auf \([a,b]. \square\)