Konvergenz von Teilfolgen

Satz (Konvergenz von Teilfolgen)

Für jede konvergente Teilfolge \((a_{n_{k}})_{k}\) einer beschränkten, reelen Fole \((a_{n})\) gilt

\[\liminf_{n \to \infty} a_{n_{k}} \in [\liminf_{n \to \infty} a_{n}, \limsup_{n \to \infty} a_{n}]\]

Des weiteren existiert eine konvergente Teilefolge \((a_{n_{k}})_{k}\) mit \(\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = \limsup_{n \to \infty} a_{n}\) und eine konvergente Teilfolge \((a_{m_{k}})_{k}\) mit \(\lim_{k \to \infty} a_{m_{k}} = \liminf_{n \to \infty} a_{n}\).

Beweis (Konvergenz von Teilfolgen)

Sei \((a_{n_{k}})_{k}\) eine konvergente Teilfolge von \((a_{n})_{n}\), \(I = \liminf_{n \to \infty} a_{n}\), \(S = \limsup_{n \to \infty} a_{n}\) und \(\epsilon > 0\). Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft des Limes Superior ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass

\[a_{n} \le S + \epsilon\]

für alle \(n \ge N\). Wenn nötig können wir \(N\) noch so groß wählen, sodass ebenso gilt

\[a_{n} \ge I - \epsilon\]

für alle \(n \ge N\).

Für den Limes der Folge \((a_{n_{k}})_{k}\) ergibt sich daraus

\[I - \epsilon \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le I + \epsilon\]

Da \(\epsilon > 0\) beliebig war und \(\lim_{k \to \infty} a_{n_{k}}\) nicht von \(\epsilon\) abhängt, ergibt sich daraus \(I \le \lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} \le S\), wie im Satz behauptet wurde. \(\square\)