Konvergenz von monotonen Funktionen

Satz (Konvergenz von monotonen Funktionen)

Eine monotone, reelle Folge \((a_{n})_{n}\) konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Beweis (Konvergenz von monotonen Funktionen)

Falls \((a_{n})_{n}\) konvergent ist, ist \((a_{n})_{n}\) beschränkt. Sei also \((a_{n})_{n}\) eine beschränkte, reelle Folge. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass \((a_{n})_{n}\) monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir \((a_{n})_{n}\) durch \((-a_{n})_{n}\) ). Sei \(a = \sup\{ a_{n}\;\;|\;\;n \in \mathbb{R}\}\). Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) mit \(a_{N} > a + \epsilon\). Für \(n \ge N\) folgt damit aus der Monotonie von \((a_{n})_{n}\) dass

was zu zeigen war. \(\square\)