Mehrdimensionaler Mittelwertsatz

Satz (Mittelwertsatz für Funktionen auf \(\\mathbb{R}^n\))

Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \mapsto \mathbb{R}\) differenzierbar. Sei \(x_0 \in U\) und \(h \in \mathbb{R}^n\). Falls \(x_0 + th \in U\) für alle \(t \in [0,1]\), dann gilt

\[f(x_0+h)- f(x_0) = D_\varepsilon f(h) = \partial_hf(\varepsilon) \]

für ein \(\varepsilon = x_0 + t_\varepsilon h\) mit \(t_\varepsilon \in (0,1)\).

Beweis (Mittelwertsatz für Funktionen auf \(\\mathbb{R}^n\))

Wir bemerken, dass die Ableitung des geraden Weges \(t \in \mathbb{R} \mapsto x_0 + th\) für vorgegebene \(x_0,h \in \mathbb{R}^n\) bei jedem \(t\) gleich \(h\) ist. Daher erfüllt die Funktion

\[g : t \in [0,1] \mapsto f(x_0+th) \in \mathbb{R}\]

auf Grund der Kettenregel alle vorraussetzungen des eindimensionalen Mittelwertsatzes. Also existiert ein \(t_\varepsilon \in (0,1)\) mit \(g(1) - g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_{x_0+t_\varepsilon h} f(h)\) nach der Kettenregel und somit

\[f(x_0+h) -f (x) = g(1)-g(0) = g'(t_\varepsilon) = D_\varepsilon f(h)\]

für \(\varepsilon = x_0 + t_\epsilon h. \square\)