Monotonie des Integrals der Treppenfunktion

Satz (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion)

Sind \(f, g \in \mathcal{TF}([a, b])\) zwei Treppenfunktionen mit \(f \le g\). Dann gilt

\[\int_{a}^{b} f,dx \le \int_{a}^{b} g,dx\]

Insbesondere impliziert \(f \in \mathcal{TF}([a,b])\) und \(f \ge 0\), dass \(\int_{a}^{b} f\,dx \ge 0\).

Beweis (Monotonie des Integrals der Treppenfunktion)

Wir können für \(f, g \in \mathcal{TF}([a,b])\) eine gemeinsame Zerlegung \(\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b\}\) in Konstanzintervalle finden. Wir schreiben \(c_{1},...,c_{n}\) und \(d_{1},...,d_{n}\) für die Konstanzwerte von \(f\) respektive \(g\) bezüglich \(\zeta\). Falls nun \(f \le g\) ist, dann ist \(c_{k} \le d_{k}\) für alle \(k \in \{1,...,n\}\) und wir erhalten

\[\int_{a}^{b} f,dx = I(f, \zeta) = \sum_{k=1}^{n} c_{k}\Delta x \le \sum_{k=1}^{n}d_{k}\Delta x = I(g, \zeta) = \int_{a}^{b}g,dx\]

Die zweite Aussage folgt aus der ersten angewendet auf 0 und \(f\).