Satz von Green

Satz (Green)

Sei \(f: U \mapsto \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge \(U \subseteq \mathbb{R}^2.\) Die Wirbelstärke \(\text{rot}(f)\) existiert auf ganz \(U\) und erfüllt

\[\text{rot}(f) = \partial_1f_2 - \partial_2f_1.\]

Weiter gilt für jeden glatt berandeten, kompakten Bereich \(B \subseteq U\)

\[\int_B \text{rot}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f :\cdot:\text{ds}\]

Beweis (Green)

Sei \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \text{SO}(2,\mathbb{R})\) die Rotationsmatrix zum Winkel \(90\) Grad im Gegenuhrzeigersinn. Wir definieren ein Vektorfeld \(g : U \mapsto \mathbb{R}^2\) durch

\[g = R^{-1}f= \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2 \ -f_1 \end{pmatrix}\]

wobei \(f_1,f_2\) die Komponenten von \(f\) darstellen. Dann gilt

\[\text{div}(g) = \partial_1g_1 + \partial_2 g_2 = \partial_1 f_2 - \partial_2 f_1\]

und nach Definition

\[\int_{\partial B} g :\cdot: \text{dn} = \int_{\partial B} (Rg) :\cdot: \text{ds} = \int_{\partial B} f :\cdot:\text{ds.}\]

Nach dem Divergenzssatz angewendet auf \(g\) folgt also

\[\int_B (\partial_1f_2 - \partial_2f_1) \text{ dvol} =\int_{\partial B} f :\cdot: \text{ds}\]

für alle glatt berandeten Bereiche \(B \subseteq U\). Wenden wir dies auf \(B = \overline{ B_r (p) } \subseteq U\) für \(p \in U\) und ein hinreichend kleines \(r > 0\) an und verwenden die Stetigkeit von \((\partial_2 f_1 - \partial_1 f_2)\) auf \(U\), so erhalten wir die Existenz des Grenzwertes und die Gleichung \(\text{rot}(f) = \partial_1f_2 - \partial_2f_1. \square\)