Satz von Heine-Borel

Satz (Heine-Borel)

Eine Teilmenge \(K \in \mathbb{R}^d\) für \(d \geq 1\) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}^d\) eine konvergente Teilfolge.

Beweis (Heine-Borel)

Ist \(K\) kompakt, dann ist \(K\) nach den Notwendigen Eigenschaften für Kompaktheit abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung zeigen wir, dass \(K\) folgenkompakt ist. Sei also \((x_n)_n\) eine Folge in \(K\). Da \(K\) beschränkt ist, ist die Folge beschränkt. Wir konstruieren nun iterativ eine konvergente Teilfolge von \((x_n)_n\). Da \((x_n)_n\) beschränkt ist, ist auch die Folge der Komponenten \(\pi_1(x_n))_n\) beschränkt und besitzt somit nach dem Satz über die Konvergenz von Teilfolgen eine konvergente Teilfolge \(\pi_1 (x_{n_k})_k\). Nach dem selben Argument besitzt die Folge der Komponenten \(\pi_2 (x_{n_k})_k\) eine konvergente Teilfolge, wir bezeichnen diese mit \(\pi_2 (x_{n_k})_k\). Setzt man dieses Argument fort, erhält man eine Teilfolge \((x_{n_k})_k\) mit der Eigenschaften, dass für alle \(j \in \{1,...,d\}\) die Folge der Komponenten \(\pi_j (x_{n_k})_k\). Nach der Proposition über die Äquivalenz des Konvergenzverhaltens einer Folge bezüglich verschiedener Normen ist somit auch \((x_{n_k})_k\) konvergent. Der Grenzwert \(x \in \mathbb{R}^d\) dieser Teilfolge muss in \(K\) liegen, da \(K\) abgeschlossen ist. Dies beweist, dass jede Folge in \(K\) eine konvergente Teilfolge besitzt; also ist \(K\) kompakt. Ist \((x_n)_n\) eine beschränkte Folge in \(\mathbb{R}^d\), so kann man \((x_n)_n\) als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen, womit auch sie letzte Aussage des Satzes folgt.