Zwischenwertsatz

Satz (Zwischenwertsatz)

Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion und $a, b \in I$. Für jedes $c \in \mathbb{R}$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ gibt es ein $x_{0} \in \mathbb{R}$ zwischen $a$ und $b$, so dass $f(x_{0}) = c$ gilt.

Beweis (Zwischenwertsatz)

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $a < b$ und $f(a) \le f(b)$ gilt (falls $f(a) \ge f(b)$), betrachtet man $-f$ ). Sei nun $c \in [f(a), f(b)]$. Falls $c = f(a)$ oder $c = f(b)$ gilt, sind wir fertig. Also angenommen $c \in (f(a), f(b))$. Wir definieren

\[ X = {x \in [a,:b];|;f(x) \le c }\]

und bemerken, dass $a \in X$ und $X \subseteq [a, b]$, wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Mit dem Satz über die Existenz des Supremums existiert daher $x_{0} = sup(X) \in [a, b]$.

Wir verwenden nun die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$, um zu zeigen, dass $f(x_{0}) = c$. Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, so dass für alle $x \in [a, b]$ gilt: $$|x - x_{0}| < \delta \implies |f(x) - f(x_{0})| < \epsilon$$

Angenommen $f(x_{0}) < c$. Dann folgt $x_{0} < b$ wegen $f(b) < c$ und $x_{0} \in [a, b]$. Wir wenden nun die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$ an und finden für $\epsilon = c - f(x_{0}) > 0$ ein $\delta > 0$, dass die Stetigkeits-Definition von vorhin erfüllt. Da nun $x_{0} < b$ ist, existiert ein $x \in (x_{0}, x_{0} + \delta) \cap [a ,b]$. Für dieses $x$ gilt dann:

\[f(x) = f(x_{0}) + (f(x) - f(x_{0})) < f(x_{0}) + c - f(x_{0}) = c.\]

Also muss $x$ in $X$ liegen, was aber $sup(X) = x_{0} < x$ widerspricht.

Angenommen $f(x_{0}) > c$. Dann folgt $x_{0} > a$ wegen wegen $f_{a} < c$. Wir verwenden erneut die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$ und finden für $\epsilon = f(x_{0}) - c$ ein $\delta > 0$, dass die Stetigkeits-Definition von vorhin erfüllt. Für $x \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \cap [a ,b]$ gilt dadurch

\[f(x) = f(x_{0}) + (f(x) - f(x_{0})) > f(x_{0}) - (f(x_{0})) - c) = c.\]

wodurch $x \notin X$ und daher $(x_{0} - \delta, x_{0}) \cap [a, b] \cap X = \varnothing$. Also ist $x - \delta$ eine obere Schranke von $X$, was aber $x_{0} = sup(X)$ widerspricht. Daher gilt $f(x_{0}) = c$ und der Satz folgt. $\square$

Zwischenwertsatz

Satz (Zwischenwertsatz)

Beweis (Zwischenwertsatz)

Bild (Zwischenwertsatz)