Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Für ein $r > 0$ und einen Punkt $x\_{0} \\in X$ nennt man
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$$B\_{r}(x\_{0}) = {x \\in X;|d(x,x_0) < r}$$
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den offenen Ball mit Radius $r$ um $x_0$. Wir sagen, dass eine Teilmenge $O \\subseteq X$ offen ist, falls es zu jedem $x_0 \\in O$ ein $r > 0$ mit $B_r(x_0) \\subseteq O$ gibt.
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Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Für ein $r > 0$ und einen Punkt $x_{0} \in X$ nennt man
den offenen Ball mit Radius $r$ um $x_0$. Wir sagen, dass eine Teilmenge $O \subseteq X$ offen ist, falls es zu jedem $x_0 \in O$ ein $r > 0$ mit $B_r(x_0) \subseteq O$ gibt.
##### Maximum/Minimum
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Wir sagen, dass $x_0 = max(X) \\in \\mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \\subseteq \\mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \\in X$ und für alle $x \\in X$ die Ungleichung $x \\le x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = max(X) \in \mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \le x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = min(X) \\in \\mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \\subseteq \\mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \\in X$ und für alle $x \\in X$ die Ungleichung $x \\ge x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = min(X) \in \mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \ge x_0$ gilt.
##### Supremum/Infimum
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Sei $X \\subseteq \\mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:
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$$(1) (\\text{$s_0$ ist eine obere Schranke)};\\forall x \\in X : x \\le s_0$$
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$$\\text{(2)($s_0$ ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\\forall s \\in \\mathbb{R} : ((\\forall x \\in X : x \\le s) \\implies s_0 \\le s)$$
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Sei $X \\subseteq \\mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:
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$$(1) (\text{s_0 ist eine obere Schranke)};\forall x \in X : x \le s_0$$
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$$\text{(2)(s_0 ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\forall s \in \mathbb{R} : ((\forall x \in X : x \le s) \implies s_0 \le s)$$
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften