Analysis Definitionen
Abgeschlossenes Intervall
\[a,b \in R, [a,b] = {x \in \mathbb{R};|;a \le x \le b}\]Offenes Intervall
\[a,b \in R, (a,b) = {x \in \mathbb{R};|;a < x < b}\]offener Ball
Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum. Für ein \(r > 0\) und einen Punkt \(x\_{0} \\in X\) nennt man $\(B\_{r}(x\_{0}) = {x \\in X;|d(x,x_0) < r}\)$ den offenen Ball mit Radius \(r\) um \(x_0\). Wir sagen, dass eine Teilmenge \(O \\subseteq X\) offen ist, falls es zu jedem \(x_0 \\in O\) ein \(r > 0\) mit \(B_r(x_0) \\subseteq O\) gibt.
Maximum/Minimum
Wir sagen, dass \(x_0 = max(X) \\in \\mathbb{R}\) das Maximum einer Teilmenge \(X \\subseteq \\mathbb{R}\) ist, falls \(x_0 \\in X\) und für alle \(x \\in X\) die Ungleichung \(x \\le x_0\) gilt.
Wir sagen, dass \(x_0 = min(X) \\in \\mathbb{R}\) das Minimum einer Teilmenge \(X \\subseteq \\mathbb{R}\) ist, falls \(x_0 \\in X\) und für alle \(x \\in X\) die Ungleichung \(x \\ge x_0\) gilt.
Supremum/Infimum
Sei \(X \\subseteq \\mathbb{R}\) eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von \(X\), die auch das Supremum \(sup(X)\) von \(X\) genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften: $\((1) (\\text{\)s_0$ ist eine obere Schranke)};\forall x \in X : x \le s_0$$ $\(\\text{(2)(\)s_0$ ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\forall s \in \mathbb{R} : ((\forall x \in X : x \le s) \implies s_0 \le s)$$ Sei \(X \\subseteq \\mathbb{R}\) eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von \(X\), die auch das Infimum \(inf(X)\) von \(X\) genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften
Häufungspunkt
Sei \(A \\sub
Folge
Sei \(X\) eine Menge. Eine Folge in \(X\) ist eine Abbildung \(a: \\mathbb{N} \\mapsto X\). Das Bild \(a(n)\) von \(n \\in \\mathbb{N}\) schreibt man auch als \(a_n\) und bezeichnet es als das \(n\)-te Folgenglied von \(a\). Anstatt \(a: \\mathbb{N} \\mapsto X\) schreibt man auch \((a_1,a_2,...), (a_n){n \\in \\mathbb{N}}, (a_n)^{\\infty}{n=1}\) oder kurz \((a_n)\_n\). Die Menge der Folgen in \(X\) wird auch als \(X^{\\mathbb{N}}\) bezeichnet. Eine Folge \((a_n)\_n\) heißt konstant, falls \(a_n = a_m\) für alle \(m,n \\in \\mathbb{N}\) mit \(m,n \\ge N\).
Konvergenz
Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum und \((a_n)\_n\) eine Folge in \(X\). Wir sagen, dass \((a_n)n\) gegen einen Punkt \(A \\in \\mathbb{R}\) konvergiert, falls es für jedes \(\\epsilon > 0\) ein \(N \\in \\mathbb{N}\) gibt, sodass \(d(a_n, A) < \\epsilon\) für alle \(n \\ge N\). In diesem Fall nennen wir den Punkt \(A\) den Grenzwert der Folge und schreiben \(\\lim{n \\to \\infty} a_n = A\). Weiter ist eine Folge in \(X\) konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.
Teilfolge
Wenn \((a_n)\_n\) eine Folge in einer Menge \(X\) ist und \((n_k)k : k \\in \\mathbb{N} \\mapsto n_k \\in \\mathbb{N}\) eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird \((a{n_k})\_k\) eine Teilfolge von \((a_n)\_n\) gennant.Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.
Folgenstetigkeit
Seien \((X, d_X), (Y, d_Y)\) zwei metrische Räume und sei \(f: X \\mapsto Y\) eine Funktion. Wir sagen, dass \(f\) bei \(x_0 \\in X\) folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge \((x_n)n\) in \(X\) mit Grenzwert \(\\lim{n \\to \\infty} x_n = x_0\) die Folge \((f(x_n))n\) kovergiert und Grenzwert \(\\lim{n \\to \\infty} f(x_n) = f(x_0)\) hat.
Cauchy-Folge
Eine Folge \((a_n)\_n \\subseteq \\mathbb{R}\) (oder \(\\mathbb{C}\)) heißt Cauchy-Folge, falls für alle \(\\epsilon > 0\) ein \(N \\in \\mathbb{N}\) existiert, sodass: $\(\\forall m,n > N: |a_m - a_n| < \\epsilon\)$
Reihe
Sei \((a_k)k\) eine Folge reeler oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe \(\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k\) betrachten, wobei \(a_k\) für \(k \\in \\mathbb{N}\) das \(k\)-te Glied der Reihe genannt wird. Für \(n \\in \\mathbb{N}\) ist die \(n\)-te Partialsumme der Reihe \(\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k\) durch \(s_n = \\sum\_{k=1}^{n} a_k\) gegeben. Wir nennen die Reihe \(\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k\) konvergent, falls der Grenzwert $\(\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k = \\lim\_{n \\to \\infty} \\sum\_{k=1}^{n} a_k = \\lim\_{n \\to \\infty} s_n\)$ in \(\\mathbb{C}\) existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.
Funktionenfolge
Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge \(X\) ist eine Folge \((f_n)\_n\) von Funktionen \(f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}\) (oder \(f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}\)).
Punktweise Konvergenz
Wir sagen, dass eine Funktionenfolge \((f_n)\_n\) punktweise gegen eine Funktion \(f: X \\mapsto \\mathbb{R}\) konvergiert, falls \(f_n(x) \\mapsto f(x)\) für \(n \\to \\infty\) und alle \(x \\in X\). Wir bezeichnen die Funktion \(f\) als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge \((f_n)\_n\). Logisch: $\(\\forall x \\in X :\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies |f_n(x)-f(x)| < \\epsilon)\)$
Gleichmäßige Konvergenz
Sei \((f_n)\_n\) eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge \(X\) und \(f\) eine weitere komplexwertige Funktion auf \(X\). Wir sagen, \(f_n\) strebt gleichmäßig gegen \(f\) für \(n \\to \\infty\), oder dass \(f\) der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge \((f_n)\_n\) ist, falls es zu jedem \(\\epsilon > 0\) ein \(N \\in \\mathbb{N}\), sodass für alle \(n \\ge N\) und alle \(x \\in X\) die Abschätzung $\(|f_n(x) -f(x)| < \\epsilon\)$ gilt. Logisch heißt das dann: $$\forall \epsilon > 0 :\exists N \in \mathbb{N} :\forall n \in \mathbb{N} : (n \ge N \implies (\forall x \in X : |f_n(x) - f(x)| < \epsilon)) $$
Bedingte Konvergenz
Wir sagen, dass eine Reihe \(\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n\) mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe \(\\sum\_{n=1}^{\\infty} |a_n|\) konvergiert. Die Reihe \(\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n\) ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Konvergenzradius
Sei \(\\sum\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\_{n}\) eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten \((a_n){n \\in \\mathbb{N}0}\). Wir definieren den Konvergenzradius durch $\(R = \\frac{1}{\\limsup{n \\to \\infty} \\sqrt\[n\]{|a_n|}}\)$ oder wenn \(a_n \\neq 0:\) $\(R = \\frac{|a_n|}{|a{n+1}|}\)$
\[\]aBeschränktheit
Sei \(D\) eine nicht-leere Menge und sei \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) eine Funktion. Wir sagen, dass die Funktion \(f\)
- von oben beschränkt ist, falls das Bild \(f(D)\) von oben beschränkt ist
- von unten beschränkt ist, falls das Bild \(f(D)\) von unten beschränkt ist
- beschränkt ist, falls \(f\) von oben und von unten beschränkt ist.
Monotonie
Eine Funktion \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) ist
- monoton wachsend, falls \(\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\le f(y)\)
- monoton wachsend, falls \(\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\ge f(y)\)
Differenzierbarkeit / stetige Differenzierbarkeit
Sei \(D \\subseteq \\mathbb{R}\) eine Teilmenge, \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) und \(a \\in D\) ein Häufungspunkt von \(D\). Wir sagen, dass \(f\) bei \(a\) differenzierbar ist, falls der Grenzwert $\(f'(a) = \\lim\_{n \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \\lim\_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) -f(a)}{h}\)$ existiert. Falls \(f\) bei jedem Häufungspunkt in \(D\) differenzierbar ist, nennen wir die Funktion \(f\) auf \(D\) differenzierbar.
Falls \(f: D \\to \\mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion ist, können wir die Ableitung $\(f': x \\in D \\mapsto f'(x)\)$ als neue Funktion betrachten. Ist \(f'\) stetig, so nennen wir \(f\) stetig differenzierbar.
Glatt
Eine Funktion \(f\) wird dann glatt genannt, wenn diese beliebig oft differenzierbar ist.
Injektivität
Sei \(f: X \\mapsto Y\) eine Funktion. $\(\\forall x\_{1},x\_{2} \\in X : f(x\_{1}) = f(x\_{2}) \\implies x\_{1} = x\_{2}\)$
Surjektivität
Sei \(f: X \\mapsto Y\) eine Funktion. Zu jedem \(y \\in Y\) gibt es ein \(x \\in X\), sodass \(f(x) = y\).
Bijektivität
Eine Funktion ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Äquivalenzrelation
Eine Relation ~ auf \(X\) ist eine Äquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind: $$Reflexivität:\forall x \in X: x \sim x $$ $\(Symmetrie: \\forall x,y \\in X : x \\sim y \\iff y \\sim x\)$ $\(Transitivität : \\forall x,y,z \\in X : ((x \\sim y) \\land(y \\sim z)) \\implies x \\sim z\)$
Unter-/Obersummen
Sei \(f \\in \\mathcal{F}(\[a,b\])\) beschränkt. Dann definieren wir die (nicht-leere) Menge der Untersummen durch $\(\\mathcal{U}(f) = {\\int_a^b u,dx ;|; u \\in \\mathcal{TF}(\[a,b\] \\text{ und } u \\le f}\)$ und die (nicht-leere) Menge der Obersummen durch $\(\\mathcal{O}(f) = { \\int_a^b o,dx;|;o\\in \\mathcal{TF}(\[a,b\]) \\text{ und } f\\le o}\)$
Riemann-integrierbar
Für eine beschränkte \(f \\in \\mathcal{F}(\[a,b\])\) wird \(\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)\) das untere Integral von \(f\) und \(\\bar{I}(f)=\\mathcal{O}(f)\) das obere Integral von \(f\) genannt. Die Funktion \(f\) heißt Riemann-integrierbar, falls \(\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)\). In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral $\(\\int_a^b f ,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)\)$ genannt.
Treppenfunktion
Eine Funktion \(f: \[a,b\] \\mapsto \\mathbb{R}\) ist eine Treppenfunktion \((\\mathcal{TF})\), falls es eine Zerlegung $\(\\zeta = {a=x\_{0} < x_1 < ... < x\_{n-1} < x_n = b}\)$ gibt, sodass für jedes \(k \\in {1,...,n}\) eine Zahl \(c_k \\in \\mathbb{R}\) gibt mit $\(\\forall x \\in (x\_{k-1},x_k): f(x) =c_k.\)$ Eine Treppenfunktion soll also konstant sein auf den Intervallen in der Partition \(\\mathcal{P}(\\zeta)\). Die Intervalle \((x\_{k-1},x_k)\) für \(k \\in {1,...,n}\) heißen auch Konstanzintervalle der Treppenfunktion \(f\) und \(\\zeta\) heißt eine Zerlegung in Konstanzintervalle von \(f\).
Norm
Sei \(V\) ein Vektorraum über \(\\mathbb{K = R}\) (oder \(\\mathbb{K = C}\)). Eine Norm auf \(V\) ist eine Abbildung \(|| \\cdot|| : v \\in V \\mapsto ||v|| \\in \\mathbb{R}\_{\\ge 0}\), die folgende drei Eigenschaften erfüllt.
- (Definiertheit) Für alle \(v \\in V\) gilt \(||v|| = 0 \\iff v = 0\)
- (Homogenität) Für alle \(v \\in V\) und \(\\alpha \\in \\mathbb{K}\) gilt \(||\\alpha v|| = |\\alpha|;||v||\)
- (Dreiecksungleichung) Für alle \(v_1, v_2 \\in V\) gilt \(||v_1 + v_2|| \\le ||v_1|| + ||v_2||\)
Man nennt \(V\) gemeinsam mit der Norm \(|| \\cdot ||\) auch einen normierten Vektorraum.
Metrik
Ein metrischer \((X, d)\) ist eine Menge \(X\) gemeinsam mit einer Abbildung \(d: X \\times X \\mapsto \\mathbb{R}\_{\\ge 0}\), die die Metrik auf \(X\) gennant wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:
- (Definiertheit) Für alle \(x_1,x_2 \\in X\)gilt \(d(x_1,x_2) = 0 \\iff x_1 = x_2\)
- (Symmetrie) Für alle \(x_1,x_2 \\in X\) gilt \(d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)\)
- (Dreiecksungleichung) Für alle \(x_1,x_2,x_3 \\in X\) gilt \(d(x_1,x_3) \\le d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)\)
Limes Inferior/Superior
Für eine beschränkte reele Folge \((a_n)n\) ist der Limes superior definiert durch $\(\\overline{\\lim{n \\to \\infty}} a_n = \\limsup\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\sup\_{k \\ge n} a_k) = \\inf\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\sup\_{k \\ge n} a_k)\)$ und der Limes Inferior durch $\(\\underline{\\lim\_{n \\to \\infty}} a_n = \\liminf\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\inf\_{k \\ge n} a_k) = \\sup\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\inf\_{k \\ge n} a_k)\)$