# Analysis Definitionen ##### Abgeschlossenes Intervall $$a,b \in R, \[a,b\] = \\{x \in \\mathbb{R}\\;|\\;a \\le x \\le b\\}$$ ##### Offenes Intervall $$a,b \in R, (a,b) = \\{x \in \\mathbb{R}\\;|\\;a < x < b\\}$$ ##### offener Ball Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Für ein $r > 0$ und einen Punkt $x_{0} \in X$ nennt man $$B_{r}(x_{0}) = \\{x \in X\;|\;d(x,x_0) < r\\}$$ den offenen Ball mit Radius $r$ um $x_0$. Wir sagen, dass eine Teilmenge $O \subseteq X$ offen ist, falls es zu jedem $x_0 \in O$ ein $r > 0$ mit $B_r(x_0) \subseteq O$ gibt. ##### Maximum/Minimum Wir sagen, dass $x_0 = \max(X) \in \mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \le x_0$ gilt. Wir sagen, dass $x_0 = \min(X) \in \mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \ge x_0$ gilt. ##### Supremum/Infimum Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $\sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften: $$(1) (\text{s_0 ist eine obere Schranke});\forall x \in X : x \le s_0$$ $$\text{(2)(s_0 ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\forall s \in \mathbb{R} : ((\forall x \in X : x \le s) \implies s_0 \le s)$$ Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $\inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften. ##### Häufungspunkt Sei $A \subseteq \mathbb{R}$ und $x_0 \in \mathbb{R}$. Wir sagen, dass $x_0$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $a \in A$ gibt mit $0 < |a - x_0| < \epsilon$. ##### Folge Sei $X$ eine Menge. Eine Folge in $X$ ist eine Abbildung $a: \mathbb{N} \to X$. Das Bild $a(n)$ von $n \in \mathbb{N}$ schreibt man auch als $a_n$ und bezeichnet es als das $n$-te Folgenglied von $a$. Anstatt $a: \mathbb{N} \to X$ schreibt man auch $(a_1, a_2, ...), (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, (a_n)^{\infty}_{n=1}$ oder kurz $(a_n)_n$. Die Menge der Folgen in $X$ wird auch als $X^{\mathbb{N}}$ bezeichnet. Eine Folge $(a_n)_n$ heißt konstant, falls $a_n = a_m$ für alle $m, n \in \mathbb{N}$ mit $m, n \ge N$. ##### Konvergenz Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(a_n)_n$ eine Folge in $X$. Wir sagen, dass $(a_n)_n$ gegen einen Punkt $A \in \mathbb{R}$ konvergiert, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass $d(a_n, A) < \epsilon$ für alle $n \ge N$. In diesem Fall nennen wir den Punkt $A$ den Grenzwert der Folge und schreiben $\lim_{n \to \infty} a_n = A$. Weiter ist eine Folge in $X$ konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt. ##### Teilfolge Wenn $(a_n)_n$ eine Folge in einer Menge $X$ ist und $(n_k)_k : k \in \mathbb{N} \to n_k \in \mathbb{N}$ eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird $(a_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $(a_n)_n$ genannt. Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge. ##### Folgenstetigkeit Seien $(X, d_X), (Y, d_Y)$ zwei metrische Räume und sei $f: X \to Y$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ bei $x_0 \in X$ folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge $(x_n)_n$ in $X$ mit Grenzwert $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))_n$ konvergiert und Grenzwert $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$ hat. ##### Cauchy-Folge Eine Folge $(a_n)_n \subseteq \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass: $$\forall m, n > N: |a_m - a_n| < \epsilon$$ ##### Reihe Sei $(a_k)k$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \\in \\mathbb{N}$ das $k$-te Glied der Reihe genannt wird. Für $n \\in \\mathbb{N}$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ durch $$s_n = \sum\\_{k=1}^{n} a_k$$ gegeben. Wir nennen die Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ konvergent, falls der Grenzwert $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k = \lim\\_{n \\to \\infty} \sum\\_{k=1}^{n} a_k = \lim\\_{n \\to \\infty} s_n$$ in $\\mathbb{C}$ existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent. ##### Funktionenfolge Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)\\_n$ von Funktionen $f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}$ (oder $f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}$). ##### Punktweise Konvergenz Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \\mapsto \\mathbb{R}$ konvergiert, falls $f_n(x) \\mapsto f(x)$ für $n \\to \\infty$ und alle $x \\in X$. Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$. Logisch: $$\\forall x \\in X :\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies |f_n(x)-f(x)| < \\epsilon)$$ ##### Gleichmäßige Konvergenz Sei $(f_n)\\_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$. Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmäßig gegen $f$ für $n \\to \\infty$, oder dass $f$ der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ ist, falls es zu jedem $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass für alle $n \\ge N$ und alle $x \\in X$ die Abschätzung $$|f_n(x) -f(x)| < \\epsilon$$ gilt. Logisch heißt das dann: $$\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies (\\forall x \\in X : |f_n(x) - f(x)| < \\epsilon)) $$ ##### Bedingte Konvergenz Wir sagen, dass eine Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} |a_n|$$ konvergiert. Die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. ##### Konvergenzradius Sei $$\sum\\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\\_{n}$$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n)\\_{n \\in \\mathbb{N}0}$. Wir definieren den Konvergenzradius durch $$R = \\frac{1}{\\limsup\\_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}}$$ oder wenn $a_n \\neq 0:$ $$R = \\frac{|a_n|}{|a\\_{n+1}|}$$ ##### Beschränktheit Sei $D$ eine nicht-leere Menge und sei $f: D \\mapsto \\mathbb{R}$ eine Funktion. Wir sagen, dass die Funktion $f$ - von oben beschränkt ist, falls das Bild $f(D)$ von oben beschränkt ist - von unten beschränkt ist, falls das Bild $f(D)$ von unten beschränkt ist - beschränkt ist, falls $f$ von oben und von unten beschränkt ist. ##### Monotonie Eine Funktion $f: D \\mapsto \\mathbb{R}$ ist - monoton wachsend, falls $\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\le f(y)$ - monoton fallend, falls $\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\ge f(y)$ ##### Differenzierbarkeit / stetige Differenzierbarkeit Sei $D \\subseteq \\mathbb{R}$ eine Teilmenge, $f: D \\mapsto \\mathbb{R}$ und $a \\in D$ ein Häufungspunkt von $D$. Wir sagen, dass $f$ bei $a$ differenzierbar ist, falls der Grenzwert $$f'(a) = \\lim\\_{x \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \\lim\\_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) -f(a)}{h}$$ existiert. Falls $f$ bei jedem Häufungspunkt in $D$ differenzierbar ist, nennen wir die Funktion $f$ auf $D$ differenzierbar. Falls $f: D \\to \\mathbb{R}$ eine differenzierbare Funktion ist, können wir die Ableitung $$f': x \\in D \\mapsto f'(x)$$ als neue Funktion betrachten. Ist $f'$ stetig, so nennen wir $f$ **stetig differenzierbar**. ##### Glatt Eine Funktion $f$ wird dann glatt genannt, wenn diese beliebig oft differenzierbar ist. ##### Injektivität Sei $f: X \\mapsto Y$ eine Funktion. $$\\forall x\\_{1},x\\_{2} \\in X : f(x\\_{1}) = f(x\\_{2}) \\implies x\\_{1} = x\\_{2}$$ ##### Surjektivität Sei $f: X \\mapsto Y$ eine Funktion. Zu jedem $y \\in Y$ gibt es ein $x \\in X$, sodass $f(x) = y$. ##### Bijektivität Eine Funktion ist sowohl injektiv als auch surjektiv. ##### Äquivalenzrelation Eine Relation $\sim$ auf $X$ ist eine Äquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind: $$\text{Reflexivität:} \\forall x \\in X: x \\sim x $$ $$\text{Symmetrie:} \\forall x,y \\in X : x \\sim y \\iff y \\sim x$$ $$\text{Transitivität:} \\forall x,y,z \\in X : ((x \\sim y) \\land(y \\sim z)) \\implies x \\sim z$$ ##### Unter-/Obersummen Sei $f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])$ beschränkt. Dann definieren wir die (nicht-leere) Menge der Untersummen durch $$\\mathcal{U}(f) = \\{ \\int_a^b u \\,dx \\;|\\; u \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } u \\le f \\}$$ und die (nicht-leere) Menge der Obersummen durch $$\\mathcal{O}(f) = \\{ \\int_a^b o \\,dx \\;|\\; o \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } f \\le o \\}$$ ##### Riemann-integrierbar Für eine beschränkte $f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])$ wird $\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)$ das untere Integral von $f$ und $\\bar{I}(f) = \\mathcal{O}(f)$ das obere Integral von $f$ genannt. Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, falls $\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral $$\\int_a^b f \\,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$$ genannt. ##### Treppenfunktion Eine Funktion $f: \[a,b\] \\mapsto \\mathbb{R}$ ist eine Treppenfunktion $(\\mathcal{TF})$, falls es eine Zerlegung $$\\zeta = {a=x\_{0} < x_1 < ... < x\_{n-1} < x_n = b}$$ gibt, sodass für jedes $k \\in {1,...,n}$ eine Zahl $c_k \\in \\mathbb{R}$ gibt mit $$\\forall x \\in (x\_{k-1},x_k): f(x) =c_k.$$ Eine Treppenfunktion soll also konstant sein auf den Intervallen in der Partition $\\mathcal{P}(\\zeta)$. Die Intervalle $(x\_{k-1},x_k)$ für $k \\in {1,...,n}$ heißen auch Konstanzintervalle der Treppenfunktion $f$ und $\\zeta$ heißt eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$. ##### Norm Sei $V$ ein Vektorraum über $\\mathbb{K = R}$ (oder $\\mathbb{K = C}$). Eine Norm auf $V$ ist eine Abbildung $|| \\cdot|| : v \\in V \\mapsto ||v|| \\in \\mathbb{R}\_{\\ge 0}$, die folgende drei Eigenschaften erfüllt. - (Definiertheit) Für alle $v \\in V$ gilt $||v|| = 0 \\iff v = 0$ - (Homogenität) Für alle $v \\in V$ und $\\alpha \\in \\mathbb{K}$ gilt $||\\alpha v|| = |\\alpha|;||v||$ - (Dreiecksungleichung) Für alle $v_1, v_2 \\in V$ gilt $||v_1 + v_2|| \\le ||v_1|| + ||v_2||$ Man nennt $V$ gemeinsam mit der Norm $|| \\cdot ||$ auch einen normierten Vektorraum. ##### Metrik Ein metrischer $(X, d)$ ist eine Menge $X$ gemeinsam mit einer Abbildung $d: X \\times X \\mapsto \\mathbb{R}\_{\\ge 0}$, die die Metrik auf $X$ gennant wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: - (Definiertheit) Für alle $x_1,x_2 \\in X$gilt $d(x_1,x_2) = 0 \\iff x_1 = x_2$ - (Symmetrie) Für alle $x_1,x_2 \\in X$ gilt $d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)$ - (Dreiecksungleichung) Für alle $x_1,x_2,x_3 \\in X$ gilt $d(x_1,x_3) \\le d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)$ ##### Limes Inferior/Superior Für eine beschränkte reele Folge $(a_n)n$ ist der Limes superior definiert durch $$\\overline{\\lim{n \\to \\infty}} a_n = \\limsup\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\sup\_{k \\ge n} a_k) = \\inf\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\sup\_{k \\ge n} a_k)$$ und der Limes Inferior durch $$\\underline{\\lim\_{n \\to \\infty}} a_n = \\liminf\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\inf\_{k \\ge n} a_k) = \\sup\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\inf\_{k \\ge n} a_k)$$ ##### Stetigkeit $$\\forall x\_{0} \\in D : \\forall \\epsilon > 0 :\\exists \\delta>0 : \\forall x \\in D : |x - x\_{0}| < \\delta \\implies | f(x) - f(x\_{0})| < \\epsilon.$$ ##### Gleichmäßige Stetigkeit $$\\forall \\epsilon > 0:\\exists \\delta > 0 : \\forall x,y \\in D : |x-y| < \\delta \\implies |f(x)-f(y)| < \\epsilon$$ ##### Lipschitz-Stetigkeit $$\\forall \\epsilon > 0 :\\exists \\delta > 0 : |x-x\_{0}| < \\delta \\implies L|x-x\_{0}| < \\epsilon$$