$$a,b \in R, \[a,b\] = \\{x \in \\mathbb{R}\\;|\\;a \\le x \\le b\\}$$

$$a,b \in R, (a,b) = \\{x \in \\mathbb{R}\\;|\\;a < x < b\\}$$

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Für ein $r > 0$ und einen Punkt $x_{0} \in X$ nennt man

Wir sagen, dass $x_0 = \max(X) \in \mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \le x_0$ gilt.

Wir sagen, dass $x_0 = \min(X) \in \mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \ge x_0$ gilt.

Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $\sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:

Sei $A \subseteq \mathbb{R}$ und $x_0 \in \mathbb{R}$. Wir sagen, dass $x_0$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $a \in A$ gibt mit $0 < |a - x_0| < \epsilon$.

Sei $X$ eine Menge. Eine Folge in $X$ ist eine Abbildung $a: \mathbb{N} \to X$. Das Bild $a(n)$ von $n \in \mathbb{N}$ schreibt man auch als $a_n$ und bezeichnet es als das $n$-te Folgenglied von $a$. Anstatt $a: \mathbb{N} \to X$ schreibt man auch $(a_1, a_2, ...), (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, (a_n)^{\infty}_{n=1}$ oder kurz $(a_n)_n$. Die Menge der Folgen in $X$ wird auch als $X^{\mathbb{N}}$ bezeichnet. Eine Folge $(a_n)_n$ heißt konstant, falls $a_n = a_m$ für alle $m, n \in \mathbb{N}$ mit $m, n \ge N$.

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(a_n)_n$ eine Folge in $X$. Wir sagen, dass $(a_n)_n$ gegen einen Punkt $A \in \mathbb{R}$ konvergiert, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass $d(a_n, A) < \epsilon$ für alle $n \ge N$. In diesem Fall nennen wir den Punkt $A$ den Grenzwert der Folge und schreiben $\lim_{n \to \infty} a_n = A$. Weiter ist eine Folge in $X$ konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.

Wenn $(a_n)_n$ eine Folge in einer Menge $X$ ist und $(n_k)_k : k \in \mathbb{N} \to n_k \in \mathbb{N}$ eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird $(a_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $(a_n)_n$ genannt. Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.

Seien $(X, d_X), (Y, d_Y)$ zwei metrische Räume und sei $f: X \to Y$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ bei $x_0 \in X$ folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge $(x_n)_n$ in $X$ mit Grenzwert $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))_n$ konvergiert und Grenzwert $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$ hat.

Eine Folge $(a_n)_n \subseteq \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass:

Sei $(a_k)k$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \\in \\mathbb{N}$ das $k$-te Glied der Reihe genannt wird. Für $n \\in \\mathbb{N}$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ durch $$s_n = \sum\\_{k=1}^{n} a_k$$ gegeben. Wir nennen die Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ konvergent, falls der Grenzwert

Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)\\_n$ von Funktionen $f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}$ (oder $f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}$).

Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \\mapsto \\mathbb{R}$ konvergiert, falls $f_n(x) \\mapsto f(x)$ für $n \\to \\infty$ und alle $x \\in X$. Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$. Logisch:

Sei $(f_n)\\_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$. Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmäßig gegen $f$ für $n \\to \\infty$, oder dass $f$ der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ ist, falls es zu jedem $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass für alle $n \\ge N$ und alle $x \\in X$ die Abschätzung

Wir sagen, dass eine Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} |a_n|$$ konvergiert. Die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Sei $$\sum\\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\\_{n}$$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n)\\_{n \\in \\mathbb{N}0}$. Wir definieren den Konvergenzradius durch

$$R = \\frac{|a_n|}{|a\\_{n+1}|}$$

- monoton fallend, falls $\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\ge f(y)$

$$f'(a) = \\lim\\_{x \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \\lim\\_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) -f(a)}{h}$$

als neue Funktion betrachten. Ist $f'$ stetig, so nennen wir $f$ **stetig differenzierbar**.

$$\\forall x\\_{1},x\\_{2} \\in X : f(x\\_{1}) = f(x\\_{2}) \\implies x\\_{1} = x\\_{2}$$

Eine Relation $\sim$ auf $X$ ist eine Äquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Sei $f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])$ beschränkt. Dann definieren wir die (nicht-leere) Menge der Untersummen durch

$$\\mathcal{O}(f) = \\{ \\int_a^b o \\,dx \\;|\\; o \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } f \\le o \\}$$

Für eine beschränkte $f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])$ wird $\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)$ das untere Integral von $f$ und $\\bar{I}(f) = \\mathcal{O}(f)$ das obere Integral von $f$ genannt. Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, falls $\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral