den offenen Ball mit Radius $r$ um $x_0$. Wir sagen, dass eine Teilmenge $O \subseteq X$ offen ist, falls es zu jedem $x_0 \in O$ ein $r > 0$ mit $B_r(x_0) \subseteq O$ gibt.
##### Maximum/Minimum
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Wir sagen, dass $x_0 = max(X) \in \mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \le x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = \max(X) \in \mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \le x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = min(X) \in \mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \ge x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = \min(X) \in \mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \in X$ und für alle $x \in X$ die Ungleichung $x \ge x_0$ gilt.
##### Supremum/Infimum
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:
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$$(1) (\text{s_0 ist eine obere Schranke)};\forall x \in X : x \le s_0$$
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $\sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:
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$$(1) (\text{s_0 ist eine obere Schranke});\forall x \in X : x \le s_0$$
$$\text{(2)(s_0 ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\forall s \in \mathbb{R} : ((\forall x \in X : x \le s) \implies s_0 \le s)$$
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften
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Sei $X \subseteq \mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $\inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften.
##### Häufungspunkt
-
Sei $A \\sub<paragraph></paragraph>seteq \\mathbb{R}$ und $x_0 \\in \\mathbb{R}$. Wir sagen, dass $x_0$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $\\epsilon > 0$ ein $a \\in A$ gibt mit $0 < | a - x_0| < \\epsilon$
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Sei $A \subseteq \mathbb{R}$ und $x_0 \in \mathbb{R}$. Wir sagen, dass $x_0$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $a \in A$ gibt mit $0 < |a - x_0| < \epsilon$.
##### Folge
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Sei $X$ eine Menge. Eine Folge in $X$ ist eine Abbildung $a: \\mathbb{N} \\mapsto X$. Das Bild $a(n)$ von $n \\in \\mathbb{N}$ schreibt man auch als $a_n$ und bezeichnet es als das $n$-te Folgenglied von $a$. Anstatt $a: \\mathbb{N} \\mapsto X$ schreibt man auch $(a_1,a_2,...), (a_n){n \\in \\mathbb{N}}, (a_n)^{\\infty}{n=1}$ oder kurz $(a_n)\_n$. Die Menge der Folgen in $X$ wird auch als $X^{\\mathbb{N}}$ bezeichnet. Eine Folge $(a_n)\_n$ heißt konstant, falls $a_n = a_m$ für alle $m,n \\in \\mathbb{N}$ mit $m,n \\ge N$.
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Sei $X$ eine Menge. Eine Folge in $X$ ist eine Abbildung $a: \mathbb{N} \to X$. Das Bild $a(n)$ von $n \in \mathbb{N}$ schreibt man auch als $a_n$ und bezeichnet es als das $n$-te Folgenglied von $a$. Anstatt $a: \mathbb{N} \to X$ schreibt man auch $(a_1, a_2, ...), (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, (a_n)^{\infty}_{n=1}$ oder kurz $(a_n)_n$. Die Menge der Folgen in $X$ wird auch als $X^{\mathbb{N}}$ bezeichnet. Eine Folge $(a_n)_n$ heißt konstant, falls $a_n = a_m$ für alle $m, n \in \mathbb{N}$ mit $m, n \ge N$.
##### Konvergenz
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Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(a_n)\_n$ eine Folge in $X$. Wir sagen, dass $(a_n)n$ gegen einen Punkt $A \\in \\mathbb{R}$ konvergiert, falls es für jedes $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass $d(a_n, A) < \\epsilon$ für alle $n \\ge N$. In diesem Fall nennen wir den Punkt $A$ den Grenzwert der Folge und schreiben $\\lim{n \\to \\infty} a_n = A$. Weiter ist eine Folge in $X$ konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.
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Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(a_n)_n$ eine Folge in $X$. Wir sagen, dass $(a_n)_n$ gegen einen Punkt $A \in \mathbb{R}$ konvergiert, falls es für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass $d(a_n, A) < \epsilon$ für alle $n \ge N$. In diesem Fall nennen wir den Punkt $A$ den Grenzwert der Folge und schreiben $\lim_{n \to \infty} a_n = A$. Weiter ist eine Folge in $X$ konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.
##### Teilfolge
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Wenn $(a_n)\_n$ eine Folge in einer Menge $X$ ist und $(n_k)k : k \\in \\mathbb{N} \\mapsto n_k \\in \\mathbb{N}$ eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird $(a{n_k})\_k$ eine Teilfolge von $(a_n)\_n$ gennant.Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.
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Wenn $(a_n)_n$ eine Folge in einer Menge $X$ ist und $(n_k)_k : k \in \mathbb{N} \to n_k \in \mathbb{N}$ eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird $(a_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $(a_n)_n$ genannt. Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.
##### Folgenstetigkeit
-
Seien $(X, d_X), (Y, d_Y)$ zwei metrische Räume und sei $f: X \\mapsto Y$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ bei $x_0 \\in X$ folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge $(x_n)n$ in $X$ mit Grenzwert $\\lim{n \\to \\infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))n$ kovergiert und Grenzwert $\\lim{n \\to \\infty} f(x_n) = f(x_0)$ hat.
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Seien $(X, d_X), (Y, d_Y)$ zwei metrische Räume und sei $f: X \to Y$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ bei $x_0 \in X$ folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge $(x_n)_n$ in $X$ mit Grenzwert $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))_n$ konvergiert und Grenzwert $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$ hat.
##### Cauchy-Folge
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Eine Folge $(a_n)\_n \\subseteq \\mathbb{R}$ (oder $\\mathbb{C}$) heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ existiert, sodass:
-
$$\\forall m,n > N: |a_m - a_n| < \\epsilon$$
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Eine Folge $(a_n)_n \subseteq \mathbb{R}$ (oder $\mathbb{C}$) heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass:
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$$\forall m, n > N: |a_m - a_n| < \epsilon$$
##### Reihe
-
Sei $(a_k)k$ eine Folge reeler oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \\in \\mathbb{N}$ das $k$-te Glied der Reihe genannt wird. Für $n \\in \\mathbb{N}$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ durch $s_n = \\sum\_{k=1}^{n} a_k$ gegeben. Wir nennen die Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ konvergent, falls der Grenzwert
Sei $(a_k)k$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \\in \\mathbb{N}$ das $k$-te Glied der Reihe genannt wird. Für $n \\in \\mathbb{N}$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ durch $$s_n = \sum\\_{k=1}^{n} a_k$$ gegeben. Wir nennen die Reihe $$\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k$$ konvergent, falls der Grenzwert
in $\\mathbb{C}$ existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.
##### Funktionenfolge
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Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)\_n$ von Funktionen $f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}$ (oder $f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}$).
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Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)\\_n$ von Funktionen $f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}$ (oder $f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}$).
##### Punktweise Konvergenz
-
Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)\_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \\mapsto \\mathbb{R}$ konvergiert, falls $f_n(x) \\mapsto f(x)$ für $n \\to \\infty$ und alle $x \\in X$. Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\_n$. Logisch:
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Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \\mapsto \\mathbb{R}$ konvergiert, falls $f_n(x) \\mapsto f(x)$ für $n \\to \\infty$ und alle $x \\in X$. Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$. Logisch:
$$\\forall x \\in X :\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies |f_n(x)-f(x)| < \\epsilon)$$
##### Gleichmäßige Konvergenz
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Sei $(f_n)\_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$. Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmäßig gegen $f$ für $n \\to \\infty$, oder dass $f$ der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\_n$ ist, falls es zu jedem $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$, sodass für alle $n \\ge N$ und alle $x \\in X$ die Abschätzung
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Sei $(f_n)\\_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$. Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmäßig gegen $f$ für $n \\to \\infty$, oder dass $f$ der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\\_n$ ist, falls es zu jedem $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass für alle $n \\ge N$ und alle $x \\in X$ die Abschätzung
$$|f_n(x) -f(x)| < \\epsilon$$
gilt. Logisch heißt das dann:
$$\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies (\\forall x \\in X : |f_n(x) - f(x)| < \\epsilon)) $$
##### Bedingte Konvergenz
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Wir sagen, dass eine Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} |a_n|$ konvergiert. Die Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
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Wir sagen, dass eine Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} |a_n|$$ konvergiert. Die Reihe $$\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n$$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
##### Konvergenzradius
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Sei $\\sum\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\_{n}$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n){n \\in \\mathbb{N}0}$. Wir definieren den Konvergenzradius durch
Sei $$\sum\\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\\_{n}$$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n)\\_{n \\in \\mathbb{N}0}$. Wir definieren den Konvergenzradius durch
Sei $D \\subseteq \\mathbb{R}$ eine Teilmenge, $f: D \\mapsto \\mathbb{R}$ und $a \\in D$ ein Häufungspunkt von $D$. Wir sagen, dass $f$ bei $a$ differenzierbar ist, falls der Grenzwert
$$\\mathcal{O}(f) = \\{ \\int_a^b o \\,dx \\;|\\; o \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } f \\le o \\}$$
##### Riemann-integrierbar
-
Für eine beschränkte $f \\in \\mathcal{F}(\[a,b\])$ wird $\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)$ das untere Integral von $f$ und $\\bar{I}(f)=\\mathcal{O}(f)$ das obere Integral von $f$ genannt. Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, falls $\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral
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$$\\int_a^b f ,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$$ genannt.
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Für eine beschränkte $f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])$ wird $\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)$ das untere Integral von $f$ und $\\bar{I}(f) = \\mathcal{O}(f)$ das obere Integral von $f$ genannt. Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, falls $\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral
+
$$\\int_a^b f \\,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$$ genannt.