Analysis Definitionen
Abgeschlossenes Intervall
\[a,b \in R, [a,b] = \{x \in \mathbb{R}\;|\;a \le x \le b\}\]Offenes Intervall
\[a,b \in R, (a,b) = \{x \in \mathbb{R}\;|\;a < x < b\}\]offener Ball
Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum. Für ein \(r > 0\) und einen Punkt \(x_{0} \in X\) nennt man
\[B_{r}(x_{0}) = \{x \in X;|;d(x,x_0) < r\}\]den offenen Ball mit Radius \(r\) um \(x_0\). Wir sagen, dass eine Teilmenge \(O \subseteq X\) offen ist, falls es zu jedem \(x_0 \in O\) ein \(r > 0\) mit \(B_r(x_0) \subseteq O\) gibt.
Maximum/Minimum
Wir sagen, dass \(x_0 = \max(X) \in \mathbb{R}\) das Maximum einer Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) ist, falls \(x_0 \in X\) und für alle \(x \in X\) die Ungleichung \(x \le x_0\) gilt.
Wir sagen, dass \(x_0 = \min(X) \in \mathbb{R}\) das Minimum einer Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) ist, falls \(x_0 \in X\) und für alle \(x \in X\) die Ungleichung \(x \ge x_0\) gilt.
Supremum/Infimum
Sei \(X \subseteq \mathbb{R}\) eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von \(X\), die auch das Supremum \(\sup(X)\) von \(X\) genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften: $\((1) (\text{s_0 ist eine obere Schranke});\forall x \in X : x \le s_0\)$ $\(\text{(2)(s_0 ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\forall s \in \mathbb{R} : ((\forall x \in X : x \le s) \implies s_0 \le s)\)$
Sei \(X \subseteq \mathbb{R}\) eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von \(X\), die auch das Infimum \(\inf(X)\) von \(X\) genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften.
Häufungspunkt
Sei \(A \subseteq \mathbb{R}\) und \(x_0 \in \mathbb{R}\). Wir sagen, dass \(x_0\) ein Häufungspunkt der Menge \(A\) ist, falls es für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(a \in A\) gibt mit \(0 < |a - x_0| < \epsilon\).
Folge
Sei \(X\) eine Menge. Eine Folge in \(X\) ist eine Abbildung \(a: \mathbb{N} \to X\). Das Bild \(a(n)\) von \(n \in \mathbb{N}\) schreibt man auch als \(a_n\) und bezeichnet es als das \(n\)-te Folgenglied von \(a\). Anstatt \(a: \mathbb{N} \to X\) schreibt man auch \((a_1, a_2, ...), (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, (a_n)^{\infty}_{n=1}\) oder kurz \((a_n)_n\). Die Menge der Folgen in \(X\) wird auch als \(X^{\mathbb{N}}\) bezeichnet. Eine Folge \((a_n)_n\) heißt konstant, falls \(a_n = a_m\) für alle \(m, n \in \mathbb{N}\) mit \(m, n \ge N\).
Konvergenz
Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum und \((a_n)_n\) eine Folge in \(X\). Wir sagen, dass \((a_n)_n\) gegen einen Punkt \(A \in \mathbb{R}\) konvergiert, falls es für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) gibt, sodass \(d(a_n, A) < \epsilon\) für alle \(n \ge N\). In diesem Fall nennen wir den Punkt \(A\) den Grenzwert der Folge und schreiben \(\lim_{n \to \infty} a_n = A\). Weiter ist eine Folge in \(X\) konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.
Teilfolge
Wenn \((a_n)_n\) eine Folge in einer Menge \(X\) ist und \((n_k)_k : k \in \mathbb{N} \to n_k \in \mathbb{N}\) eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird \((a_{n_k})_k\) eine Teilfolge von \((a_n)_n\) genannt. Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.
Folgenstetigkeit
Seien \((X, d_X), (Y, d_Y)\) zwei metrische Räume und sei \(f: X \to Y\) eine Funktion. Wir sagen, dass \(f\) bei \(x_0 \in X\) folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge \((x_n)_n\) in \(X\) mit Grenzwert \(\lim_{n \to \infty} x_n = x_0\) die Folge \((f(x_n))_n\) konvergiert und Grenzwert \(\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)\) hat.
Cauchy-Folge
Eine Folge \((a_n)_n \subseteq \mathbb{R}\) (oder \(\mathbb{C}\)) heißt Cauchy-Folge, falls für alle \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass: $\(\forall m, n > N: |a_m - a_n| < \epsilon\)$
Reihe
Sei \((a_k)k\) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $\(\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k\)$ betrachten, wobei \(a_k\) für \(k \\in \\mathbb{N}\) das \(k\)-te Glied der Reihe genannt wird. Für \(n \\in \\mathbb{N}\) ist die \(n\)-te Partialsumme der Reihe $\(\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k\)$ durch $\(s_n = \sum\\_{k=1}^{n} a_k\)$ gegeben. Wir nennen die Reihe $\(\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k\)$ konvergent, falls der Grenzwert $\(\sum\\_{k=1}^{\\infty} a_k = \lim\\_{n \\to \\infty} \sum\\_{k=1}^{n} a_k = \lim\\_{n \\to \\infty} s_n\)$ in \(\\mathbb{C}\) existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.
Funktionenfolge
Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge \(X\) ist eine Folge \((f_n)\\_n\) von Funktionen \(f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}\) (oder \(f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}\)).
Punktweise Konvergenz
Wir sagen, dass eine Funktionenfolge \((f_n)\\_n\) punktweise gegen eine Funktion \(f: X \\mapsto \\mathbb{R}\) konvergiert, falls \(f_n(x) \\mapsto f(x)\) für \(n \\to \\infty\) und alle \(x \\in X\). Wir bezeichnen die Funktion \(f\) als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge \((f_n)\\_n\). Logisch: $\(\\forall x \\in X :\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies |f_n(x)-f(x)| < \\epsilon)\)$
Gleichmäßige Konvergenz
Sei \((f_n)\\_n\) eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge \(X\) und \(f\) eine weitere komplexwertige Funktion auf \(X\). Wir sagen, \(f_n\) strebt gleichmäßig gegen \(f\) für \(n \\to \\infty\), oder dass \(f\) der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge \((f_n)\\_n\) ist, falls es zu jedem \(\\epsilon > 0\) ein \(N \\in \\mathbb{N}\) gibt, sodass für alle \(n \\ge N\) und alle \(x \\in X\) die Abschätzung $\(|f_n(x) -f(x)| < \\epsilon\)$ gilt. Logisch heißt das dann: $$\forall \epsilon > 0 :\exists N \in \mathbb{N} :\forall n \in \mathbb{N} : (n \ge N \implies (\forall x \in X : |f_n(x) - f(x)| < \epsilon)) $$
Bedingte Konvergenz
Wir sagen, dass eine Reihe $\(\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n\)$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $\(\sum\\_{n=1}^{\\infty} |a_n|\)$ konvergiert. Die Reihe $\(\sum\\_{n=1}^{\\infty} a_n\)$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Konvergenzradius
Sei $\(\sum\\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\\_{n}\)$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten \((a_n)\\_{n \\in \\mathbb{N}0}\). Wir definieren den Konvergenzradius durch $\(R = \\frac{1}{\\limsup\\_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|}}\)$ oder wenn \(a_n \\neq 0:\) $\(R = \\frac{|a_n|}{|a\\_{n+1}|}\)$
Beschränktheit
Sei \(D\) eine nicht-leere Menge und sei \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) eine Funktion. Wir sagen, dass die Funktion \(f\)
- von oben beschränkt ist, falls das Bild \(f(D)\) von oben beschränkt ist
- von unten beschränkt ist, falls das Bild \(f(D)\) von unten beschränkt ist
- beschränkt ist, falls \(f\) von oben und von unten beschränkt ist.
Monotonie
Eine Funktion \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) ist
- monoton wachsend, falls \(\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\le f(y)\)
- monoton fallend, falls \(\\forall x,y \\in D : x \\le y \\implies f(x) \\ge f(y)\)
Differenzierbarkeit / stetige Differenzierbarkeit
Sei \(D \\subseteq \\mathbb{R}\) eine Teilmenge, \(f: D \\mapsto \\mathbb{R}\) und \(a \\in D\) ein Häufungspunkt von \(D\). Wir sagen, dass \(f\) bei \(a\) differenzierbar ist, falls der Grenzwert $\(f'(a) = \\lim\\_{x \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \\lim\\_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) -f(a)}{h}\)$ existiert. Falls \(f\) bei jedem Häufungspunkt in \(D\) differenzierbar ist, nennen wir die Funktion \(f\) auf \(D\) differenzierbar.
Falls \(f: D \\to \\mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion ist, können wir die Ableitung $\(f': x \\in D \\mapsto f'(x)\)$ als neue Funktion betrachten. Ist \(f'\) stetig, so nennen wir \(f\) stetig differenzierbar.
Glatt
Eine Funktion \(f\) wird dann glatt genannt, wenn diese beliebig oft differenzierbar ist.
Injektivität
Sei \(f: X \\mapsto Y\) eine Funktion. $\(\\forall x\\_{1},x\\_{2} \\in X : f(x\\_{1}) = f(x\\_{2}) \\implies x\\_{1} = x\\_{2}\)$
Surjektivität
Sei \(f: X \\mapsto Y\) eine Funktion. Zu jedem \(y \\in Y\) gibt es ein \(x \\in X\), sodass \(f(x) = y\).
Bijektivität
Eine Funktion ist sowohl injektiv als auch surjektiv.
Äquivalenzrelation
Eine Relation \(\sim\) auf \(X\) ist eine Äquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind: $$\text{Reflexivität:} \forall x \in X: x \sim x $$ $\(\text{Symmetrie:} \\forall x,y \\in X : x \\sim y \\iff y \\sim x\)$ $\(\text{Transitivität:} \\forall x,y,z \\in X : ((x \\sim y) \\land(y \\sim z)) \\implies x \\sim z\)$
Unter-/Obersummen
Sei \(f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])\) beschränkt. Dann definieren wir die (nicht-leere) Menge der Untersummen durch $\(\\mathcal{U}(f) = \\{ \\int_a^b u \\,dx \\;|\\; u \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } u \\le f \\}\)$ und die (nicht-leere) Menge der Obersummen durch $\(\\mathcal{O}(f) = \\{ \\int_a^b o \\,dx \\;|\\; o \\in \\mathcal{TF}(\\[a,b\\]) \\text{ und } f \\le o \\}\)$
Riemann-integrierbar
Für eine beschränkte \(f \\in \\mathcal{F}(\\[a,b\\])\) wird \(\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)\) das untere Integral von \(f\) und \(\\bar{I}(f) = \\mathcal{O}(f)\) das obere Integral von \(f\) genannt. Die Funktion \(f\) heißt Riemann-integrierbar, falls \(\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)\). In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral $\(\\int_a^b f \\,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)\)$ genannt.
Treppenfunktion
Eine Funktion \(f: \[a,b\] \\mapsto \\mathbb{R}\) ist eine Treppenfunktion \((\\mathcal{TF})\), falls es eine Zerlegung $\(\\zeta = {a=x\_{0} < x_1 < ... < x\_{n-1} < x_n = b}\)$ gibt, sodass für jedes \(k \\in {1,...,n}\) eine Zahl \(c_k \\in \\mathbb{R}\) gibt mit $\(\\forall x \\in (x\_{k-1},x_k): f(x) =c_k.\)$ Eine Treppenfunktion soll also konstant sein auf den Intervallen in der Partition \(\\mathcal{P}(\\zeta)\). Die Intervalle \((x\_{k-1},x_k)\) für \(k \\in {1,...,n}\) heißen auch Konstanzintervalle der Treppenfunktion \(f\) und \(\\zeta\) heißt eine Zerlegung in Konstanzintervalle von \(f\).
Norm
Sei \(V\) ein Vektorraum über \(\\mathbb{K = R}\) (oder \(\\mathbb{K = C}\)). Eine Norm auf \(V\) ist eine Abbildung \(|| \\cdot|| : v \\in V \\mapsto ||v|| \\in \\mathbb{R}\_{\\ge 0}\), die folgende drei Eigenschaften erfüllt.
- (Definiertheit) Für alle \(v \\in V\) gilt \(||v|| = 0 \\iff v = 0\)
- (Homogenität) Für alle \(v \\in V\) und \(\\alpha \\in \\mathbb{K}\) gilt \(||\\alpha v|| = |\\alpha|;||v||\)
- (Dreiecksungleichung) Für alle \(v_1, v_2 \\in V\) gilt \(||v_1 + v_2|| \\le ||v_1|| + ||v_2||\)
Man nennt \(V\) gemeinsam mit der Norm \(|| \\cdot ||\) auch einen normierten Vektorraum.
Metrik
Ein metrischer \((X, d)\) ist eine Menge \(X\) gemeinsam mit einer Abbildung \(d: X \\times X \\mapsto \\mathbb{R}\_{\\ge 0}\), die die Metrik auf \(X\) gennant wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:
- (Definiertheit) Für alle \(x_1,x_2 \\in X\)gilt \(d(x_1,x_2) = 0 \\iff x_1 = x_2\)
- (Symmetrie) Für alle \(x_1,x_2 \\in X\) gilt \(d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)\)
- (Dreiecksungleichung) Für alle \(x_1,x_2,x_3 \\in X\) gilt \(d(x_1,x_3) \\le d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)\)
Limes Inferior/Superior
Für eine beschränkte reele Folge \((a_n)n\) ist der Limes superior definiert durch $\(\\overline{\\lim{n \\to \\infty}} a_n = \\limsup\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\sup\_{k \\ge n} a_k) = \\inf\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\sup\_{k \\ge n} a_k)\)$ und der Limes Inferior durch $\(\\underline{\\lim\_{n \\to \\infty}} a_n = \\liminf\_{n \\to \\infty} a_n = \\lim\_{n \\to \\infty} (\\inf\_{k \\ge n} a_k) = \\sup\_{n \\in \\mathbb{N}} (\\inf\_{k \\ge n} a_k)\)$