Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum. Für ein $r > 0$ und einen Punkt $x\_{0} \\in X$ nennt man
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$$B\_{r}(x\_{0}) = {x \\in X;|d(x,x_0) < r}$$
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den offenen Ball mit Radius $r$ um $x_0$. Wir sagen, dass eine Teilmenge $O \\subseteq X$ offen ist, falls es zu jedem $x_0 \\in O$ ein $r > 0$ mit $B_r(x_0) \\subseteq O$ gibt.
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##### Maximum/Minimum
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Wir sagen, dass $x_0 = max(X) \\in \\mathbb{R}$ das Maximum einer Teilmenge $X \\subseteq \\mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \\in X$ und für alle $x \\in X$ die Ungleichung $x \\le x_0$ gilt.
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Wir sagen, dass $x_0 = min(X) \\in \\mathbb{R}$ das Minimum einer Teilmenge $X \\subseteq \\mathbb{R}$ ist, falls $x_0 \\in X$ und für alle $x \\in X$ die Ungleichung $x \\ge x_0$ gilt.
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##### Supremum/Infimum
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Sei $X \\subseteq \\mathbb{R}$ eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von $X$, die auch das Supremum $sup(X)$ von $X$ genannt wird. Es gelten folgende Eigenschaften:
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$$(1) (\\text{$s_0$ ist eine obere Schranke)};\\forall x \\in X : x \\le s_0$$
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$$\\text{(2)($s_0$ ist kleiner gleich jeder oberen Schranke)};\\forall s \\in \\mathbb{R} : ((\\forall x \\in X : x \\le s) \\implies s_0 \\le s)$$
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Sei $X \\subseteq \\mathbb{R}$ eine von unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine größte untere Schranke von $X$, die auch das Infimum $inf(X)$ von $X$ genannt wird. Für es gelten ähnliche Eigenschaften
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##### Häufungspunkt
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Sei $A \\sub<paragraph></paragraph>seteq \\mathbb{R}$ und $x_0 \\in \\mathbb{R}$. Wir sagen, dass $x_0$ ein Häufungspunkt der Menge $A$ ist, falls es für jedes $\\epsilon > 0$ ein $a \\in A$ gibt mit $0 < | a - x_0| < \\epsilon$
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##### Folge
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Sei $X$ eine Menge. Eine Folge in $X$ ist eine Abbildung $a: \\mathbb{N} \\mapsto X$. Das Bild $a(n)$ von $n \\in \\mathbb{N}$ schreibt man auch als $a_n$ und bezeichnet es als das $n$-te Folgenglied von $a$. Anstatt $a: \\mathbb{N} \\mapsto X$ schreibt man auch $(a_1,a_2,...), (a_n){n \\in \\mathbb{N}}, (a_n)^{\\infty}{n=1}$ oder kurz $(a_n)\_n$. Die Menge der Folgen in $X$ wird auch als $X^{\\mathbb{N}}$ bezeichnet. Eine Folge $(a_n)\_n$ heißt konstant, falls $a_n = a_m$ für alle $m,n \\in \\mathbb{N}$ mit $m,n \\ge N$.
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##### Konvergenz
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Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(a_n)\_n$ eine Folge in $X$. Wir sagen, dass $(a_n)n$ gegen einen Punkt $A \\in \\mathbb{R}$ konvergiert, falls es für jedes $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ gibt, sodass $d(a_n, A) < \\epsilon$ für alle $n \\ge N$. In diesem Fall nennen wir den Punkt $A$ den Grenzwert der Folge und schreiben $\\lim{n \\to \\infty} a_n = A$. Weiter ist eine Folge in $X$ konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt und divergent, falls sie keinen Grenzwert besitzt.
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##### Teilfolge
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Wenn $(a_n)\_n$ eine Folge in einer Menge $X$ ist und $(n_k)k : k \\in \\mathbb{N} \\mapsto n_k \\in \\mathbb{N}$ eine streng monoton wachsende Folge ist, dann wird $(a{n_k})\_k$ eine Teilfolge von $(a_n)\_n$ gennant.Liegt eine Teilfolge einer konvergenten Folge vor, so konvergiert diese gegen denselben Grenzwert wie die Folge.
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##### Folgenstetigkeit
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Seien $(X, d_X), (Y, d_Y)$ zwei metrische Räume und sei $f: X \\mapsto Y$ eine Funktion. Wir sagen, dass $f$ bei $x_0 \\in X$ folgenstetig ist, falls für jede konvergente Folge $(x_n)n$ in $X$ mit Grenzwert $\\lim{n \\to \\infty} x_n = x_0$ die Folge $(f(x_n))n$ kovergiert und Grenzwert $\\lim{n \\to \\infty} f(x_n) = f(x_0)$ hat.
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##### Cauchy-Folge
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Eine Folge $(a_n)\_n \\subseteq \\mathbb{R}$ (oder $\\mathbb{C}$) heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$ existiert, sodass:
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$$\\forall m,n > N: |a_m - a_n| < \\epsilon$$
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##### Reihe
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Sei $(a_k)k$ eine Folge reeler oder komplexer Zahlen. Wir wollen die unendliche Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ betrachten, wobei $a_k$ für $k \\in \\mathbb{N}$ das $k$-te Glied der Reihe genannt wird. Für $n \\in \\mathbb{N}$ ist die $n$-te Partialsumme der Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ durch $s_n = \\sum\_{k=1}^{n} a_k$ gegeben. Wir nennen die Reihe $\\sum\_{k=1}^{\\infty} a_k$ konvergent, falls der Grenzwert
in $\\mathbb{C}$ existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.
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##### Funktionenfolge
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Eine reelwertige (oder komplexwertige) Funktionenfolge auf einer Menge $X$ ist eine Folge $(f_n)\_n$ von Funktionen $f_n : X \\mapsto \\mathbb{R}$ (oder $f_n : X \\mapsto \\mathbb{C}$).
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##### Punktweise Konvergenz
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Wir sagen, dass eine Funktionenfolge $(f_n)\_n$ punktweise gegen eine Funktion $f: X \\mapsto \\mathbb{R}$ konvergiert, falls $f_n(x) \\mapsto f(x)$ für $n \\to \\infty$ und alle $x \\in X$. Wir bezeichnen die Funktion $f$ als den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\_n$. Logisch:
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$$\\forall x \\in X :\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies |f_n(x)-f(x)| < \\epsilon)$$
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##### Gleichmäßige Konvergenz
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Sei $(f_n)\_n$ eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge $X$ und $f$ eine weitere komplexwertige Funktion auf $X$. Wir sagen, $f_n$ strebt gleichmäßig gegen $f$ für $n \\to \\infty$, oder dass $f$ der gleichmäßige Grenzwert der Funktionenfolge $(f_n)\_n$ ist, falls es zu jedem $\\epsilon > 0$ ein $N \\in \\mathbb{N}$, sodass für alle $n \\ge N$ und alle $x \\in X$ die Abschätzung
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$$|f_n(x) -f(x)| < \\epsilon$$
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gilt. Logisch heißt das dann:
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$$\\forall \\epsilon > 0 :\\exists N \\in \\mathbb{N} :\\forall n \\in \\mathbb{N} : (n \\ge N \\implies (\\forall x \\in X : |f_n(x) - f(x)| < \\epsilon)) $$
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##### Bedingte Konvergenz
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Wir sagen, dass eine Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n$ mit komplexen Summanden absolut konvergiert, wenn die Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} |a_n|$ konvergiert. Die Reihe $\\sum\_{n=1}^{\\infty} a_n$ ist bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
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##### Konvergenzradius
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Sei $\\sum\_{n=0}^{\\infty} a^{n}x\_{n}$ eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten $(a_n){n \\in \\mathbb{N}0}$. Wir definieren den Konvergenzradius durch
Sei $D \\subseteq \\mathbb{R}$ eine Teilmenge, $f: D \\mapsto \\mathbb{R}$ und $a \\in D$ ein Häufungspunkt von $D$. Wir sagen, dass $f$ bei $a$ differenzierbar ist, falls der Grenzwert
Für eine beschränkte $f \\in \\mathcal{F}(\[a,b\])$ wird $\\underline{I}(f) = \\mathcal{U}(f)$ das untere Integral von $f$ und $\\bar{I}(f)=\\mathcal{O}(f)$ das obere Integral von $f$ genannt. Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar, falls $\\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$. In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral
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$$\\int_a^b f ,dx = \\underline{I}(f) = \\bar{I}(f)$$ genannt.
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##### Treppenfunktion
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Eine Funktion $f: \[a,b\] \\mapsto \\mathbb{R}$ ist eine Treppenfunktion $(\\mathcal{TF})$, falls es eine Zerlegung
gibt, sodass für jedes $k \\in {1,...,n}$ eine Zahl $c_k \\in \\mathbb{R}$ gibt mit
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$$\\forall x \\in (x\_{k-1},x_k): f(x) =c_k.$$
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Eine Treppenfunktion soll also konstant sein auf den Intervallen in der Partition $\\mathcal{P}(\\zeta)$. Die Intervalle $(x\_{k-1},x_k)$ für $k \\in {1,...,n}$ heißen auch Konstanzintervalle der Treppenfunktion $f$ und $\\zeta$ heißt eine Zerlegung in Konstanzintervalle von $f$.
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##### Norm
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Sei $V$ ein Vektorraum über $\\mathbb{K = R}$ (oder $\\mathbb{K = C}$). Eine Norm auf $V$ ist eine Abbildung $|| \\cdot|| : v \\in V \\mapsto ||v|| \\in \\mathbb{R}\_{\\ge 0}$, die folgende drei Eigenschaften erfüllt.
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- (Definiertheit) Für alle $v \\in V$ gilt $||v|| = 0 \\iff v = 0$
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- (Homogenität) Für alle $v \\in V$ und $\\alpha \\in \\mathbb{K}$ gilt $||\\alpha v|| = |\\alpha|;||v||$
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- (Dreiecksungleichung) Für alle $v_1, v_2 \\in V$ gilt $||v_1 + v_2|| \\le ||v_1|| + ||v_2||$
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Man nennt $V$ gemeinsam mit der Norm $|| \\cdot ||$ auch einen normierten Vektorraum.
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##### Metrik
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Ein metrischer $(X, d)$ ist eine Menge $X$ gemeinsam mit einer Abbildung $d: X \\times X \\mapsto \\mathbb{R}\_{\\ge 0}$, die die Metrik auf $X$ gennant wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:
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- (Definiertheit) Für alle $x_1,x_2 \\in X$gilt $d(x_1,x_2) = 0 \\iff x_1 = x_2$
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- (Symmetrie) Für alle $x_1,x_2 \\in X$ gilt $d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)$
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- (Dreiecksungleichung) Für alle $x_1,x_2,x_3 \\in X$ gilt $d(x_1,x_3) \\le d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)$
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##### Limes Inferior/Superior
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Für eine beschränkte reele Folge $(a_n)n$ ist der Limes superior definiert durch