Commit 4854da
2024-11-12 23:03:25 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/erweiterter mittelwertsatz.md | |
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| + | # Erweiterter Mittelwertsatz |
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| + | ### <u>Satz</u> (Erweiterter Mittelwertsatz) |
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| + | Seien $f$ und $g$ stetige Funktionen auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a < b$, sodass $f$ und $g$ auf $(a,b)$ differenzierbar sind. Dann existiert ein $\zeta \in (a,b)$ mit |
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| + | $$g'(\zeta)(f(b)-f(a)) = f'(\zeta)(g(b)-g(a)).$$ |
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| + | Falls zusätzlich $g'(x) \neq 0$ für alle $x \in (a,b)$ gilt, dann gilt $g(a) \neq g(b)$ und |
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| + | $$\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-f(a)}$$ |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Erweiterter Mittelwertsatz) |
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| + | Wir definieren eine Funktion $F: [a,b] \to \mathbb{R}$ durch |
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| + | $$F(x) = g(x)(f(b)-f(a))-f(x)(g(b)-g(a))$$ |
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| + | für alle $x \in \mathbb{R}$. Dann gilt |
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| + | $$F(a) = g(a)(f(b)-f(a))-f(a)(g(b)-g(a)) = g(a)f(b)-f(a)g(b)$$ |
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| + | $$F(b) = g(b)(f(b)-f(a))-f(b)(g(b)-g(a))=F(a)$$ |
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| + | Nach dem Satz von Rolle existiert somit ein $\zeta \in (a,b)$ mit |
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| + | $$F'(\zeta) = g'(\zeta)(f(b)-f(a))-f'(\zeta)(g(b)-g(a)) = 0$$ |
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| + | Dies beweist die erste Behauptung des Satzes. Falls zusätzlich $g'(x) \neq 0$ für alle $(a,b)$, dann folgt aus dem Satz von Rolle, dass $g(b) \neq g(a)$. Nach Division von der oberen Gleichung mit $g'(\zeta)(g(b)-g(a))$ ergibt sich ergibt sich die zweite Behauptung des Satzes. $\square$ |