Erweiterter Mittelwertsatz

Satz (Erweiterter Mittelwertsatz)

Seien \(f\) und \(g\) stetige Funktionen auf einem Intervall \([a,b]\) mit \(a < b\), sodass \(f\) und \(g\) auf \((a,b)\) differenzierbar sind. Dann existiert ein \(\zeta \in (a,b)\) mit

\[g'(\zeta)(f(b)-f(a)) = f'(\zeta)(g(b)-g(a)).\]

Falls zusätzlich \(g'(x) \neq 0\) für alle \(x \in (a,b)\) gilt, dann gilt \(g(a) \neq g(b)\) und

\[\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-f(a)}\]

Beweis (Erweiterter Mittelwertsatz)

Wir definieren eine Funktion \(F: [a,b] \to \mathbb{R}\) durch

\[F(x) = g(x)(f(b)-f(a))-f(x)(g(b)-g(a))\]

für alle \(x \in \mathbb{R}\). Dann gilt

\[F(a) = g(a)(f(b)-f(a))-f(a)(g(b)-g(a)) = g(a)f(b)-f(a)g(b)\] \[F(b) = g(b)(f(b)-f(a))-f(b)(g(b)-g(a))=F(a)\]

Nach dem Satz von Rolle existiert somit ein \(\zeta \in (a,b)\) mit

\[F'(\zeta) = g'(\zeta)(f(b)-f(a))-f'(\zeta)(g(b)-g(a)) = 0\]

Dies beweist die erste Behauptung des Satzes. Falls zusätzlich \(g'(x) \neq 0\) für alle \((a,b)\), dann folgt aus dem Satz von Rolle, dass \(g(b) \neq g(a)\). Nach Division von der oberen Gleichung mit \(g'(\zeta)(g(b)-g(a))\) ergibt sich ergibt sich die zweite Behauptung des Satzes. \(\square\)