# Erweiterter Mittelwertsatz

### <u>Satz</u> (Erweiterter Mittelwertsatz)

Seien $f$ und $g$ stetige Funktionen auf einem Intervall $[a,b]$ mit $a < b$, sodass $f$ und $g$ auf $(a,b)$ differenzierbar sind. Dann existiert ein $\zeta \in (a,b)$ mit

$$g'(\zeta)(f(b)-f(a)) = f'(\zeta)(g(b)-g(a)).$$

Falls zusätzlich $g'(x) \neq 0$ für alle $x \in (a,b)$ gilt, dann gilt $g(a) \neq g(b)$ und

$$\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-f(a)}$$

### <u>Beweis</u> (Erweiterter Mittelwertsatz)

Wir definieren eine Funktion $F: [a,b] \to \mathbb{R}$ durch

$$F(x) = g(x)(f(b)-f(a))-f(x)(g(b)-g(a))$$

für alle $x \in \mathbb{R}$. Dann gilt

$$F(a) = g(a)(f(b)-f(a))-f(a)(g(b)-g(a)) = g(a)f(b)-f(a)g(b)$$

$$F(b) = g(b)(f(b)-f(a))-f(b)(g(b)-g(a))=F(a)$$

Nach dem Satz von Rolle existiert somit ein $\zeta \in (a,b)$ mit

$$F'(\zeta) = g'(\zeta)(f(b)-f(a))-f'(\zeta)(g(b)-g(a)) = 0$$

Dies beweist die erste Behauptung des Satzes. Falls zusätzlich $g'(x) \neq 0$ für alle $(a,b)$, dann folgt aus dem Satz von Rolle, dass $g(b) \neq g(a)$. Nach Division von der oberen Gleichung mit $g'(\zeta)(g(b)-g(a))$ ergibt sich ergibt sich die zweite Behauptung des Satzes. $\square$