Commit 852b24
2024-11-12 23:05:07 Carlos Kuban: -/-| /dev/null .. mathematik/absolute konvergenz.md | |
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| + | # Absolute Konvergenz |
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| + | ### <u>Satz</u> (Absolute Konvergenz) |
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| + | Eine absolut konvergente Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung |
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| + | $$\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$$ |
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| + | ### <u>Beweis</u> (Absolute Konvergenz) |
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| + | Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweimaliger Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen: Da die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$, gibt es für $\epsilon > 0$ nach dem Cauchy-Kriterium ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für $n \ge m \ge N$ die Abschätzung |
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| + | $$\sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon$$ |
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| + | gilt. Woraus dann folgt |
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| + | $$\left| \sum_{k=m}^{n} a_k \right| \le \sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon$$ |
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| + | mit der Dreiecksungleichung. Da $\epsilon > 0$ beliebig war, beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. $\square$ |