Absolute Konvergenz

Satz (Absolute Konvergenz)

Eine absolut konvergente Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

\[\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\]

Beweis (Absolute Konvergenz)

Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweimaliger Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen: Da die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\), gibt es für \(\epsilon > 0\) nach dem Cauchy-Kriterium ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass für \(n \ge m \ge N\) die Abschätzung

\[\sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon\]

gilt. Woraus dann folgt

\[\left| \sum_{k=m}^{n} a_k \right| \le \sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon\]

mit der Dreiecksungleichung. Da \(\epsilon > 0\) beliebig war, beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\). \(\square\)