# Absolute Konvergenz

### <u>Satz</u> (Absolute Konvergenz)

Eine absolut konvergente Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung

$$\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$$

### <u>Beweis</u> (Absolute Konvergenz)

Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweimaliger Anwendung des Cauchy-Kriteriums für Reihen: Da die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$, gibt es für $\epsilon > 0$ nach dem Cauchy-Kriterium ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für $n \ge m \ge N$ die Abschätzung

$$\sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon$$

gilt. Woraus dann folgt

$$\left| \sum_{k=m}^{n} a_k \right| \le \sum_{k=m}^{n} |a_k| < \epsilon$$

mit der Dreiecksungleichung. Da $\epsilon > 0$ beliebig war, beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. $\square$