Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $a < b$ und $f(a) \le f(b)$ gilt (falls $f(a) \ge f(b)$), betrachtet man $-f$ ). Sei nun $c \in [f(a), f(b)]$. Falls $c = f(a)$ oder $c = f(b)$ gilt, sind wir fertig. Also angenommen $c \in (f(a), f(b))$. Wir definieren
-
$$ X = \{x \in [a,\:b]\;|\;f(x) \le c \}$$
+
$$ X = \\{x \in [a,\:b]\;|\;f(x) \le c \\}$$
und bemerken, dass $a \in X$ und $X \subseteq [a, b]$, wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Mit dem Satz über die Existenz des Supremums existiert daher $x_{0} = sup(X) \in [a, b]$.
Wir verwenden nun die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$, um zu zeigen, dass $f(x_{0}) = c$. Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, so dass für alle $x \in [a, b]$ gilt:
1. Angenommen $f(x_{0}) < c$. Dann folgt $x_{0} < b$ wegen $f(b) < c$ und $x_{0} \in [a, b]$. Wir wenden nun die Stetigkeit von $f$ bei $x_{0}$ an und finden für $\epsilon = c - f(x_{0}) > 0$ ein $\delta > 0$, dass die Stetigkeits-Definition von vorhin erfüllt. Da nun $x_{0} < b$ ist, existiert ein $x \in (x_{0}, x_{0} + \delta) \cap [a ,b]$. Für dieses $x$ gilt dann: