Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $a < b$ und $f(a) \le f(b)$ gilt (falls $f(a) \ge f(b)$), betrachtet man $-f$ ). Sei nun $c \in [f(a), f(b)]$. Falls $c = f(a)$ oder $c = f(b)$ gilt, sind wir fertig. Also angenommen $c \in (f(a), f(b))$. Wir definieren
-
$$ X = \\{x \in [a,\:b]\\;|\\;f(x) \le c \\}$$
+
$$ X = \\{x \in [a,b]\\;|\\;f(x) \le c \\}$$
und bemerken, dass $a \in X$ und $X \subseteq [a, b]$, wodurch X nicht-leer und von oben beschränkt ist. Mit dem Satz über die Existenz des Supremums existiert daher $x_{0} = sup(X) \in [a, b]$.