Sei $(X,d)$ ein nicht-leerer, vollständiger metrischer Raum. Sei $T: X \mapsto X$ eine Lipschitz-Kontraktion, d.h., eine Abbildung mit der Eigenschaft

$$d(T(x_1),T(x_2)) \leq \lambda d(x_1,x_2)$$

für alle $x_1,x_2 \in X$ und für eine Lipschitz-Konstante $\lambda < 1$. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes $x_0 \in X$ mit $T(x_0) = x_0$ (ein Fixpunkt von T).

Wir zeigen zuerst die behauptete Eindeutigkeut. Seien also $x_0, x'_0 \in X$ zwei Fixpunkte von T. Dann gilt

$$d(x_0, x'_0) = d(T(x_0),T(x'_0)) \leq \lambda d(x_0,x'_0),$$

was wegen $\lambda < 1$ also $d(x_0,x'_0) = 0$ und somit $x_0 = x'_0$ impliziert. Für die Existenz wählen wir ein beliebiges $x_1 \in X$ und definieren rekursiv $x_2 = T(x_1), x_3 = T(x_2)$ und allgemein $x_{n+1} = T(x_n)$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Wir möchten nun zeigen, dass die Folge $(x_n)_n$ konvergiert. In der Tat ist der Grenzwert $x_0$ dann ein Fixpunkt, denn es gilt

$$x_0 = \lim_{n \mapsto \infty} x_n = \lim_{n \mapsto \infty} x_{n+1} = \lim_{n \mapsto \infty}T(x_n) = T (\lim_{n \mapsto \infty} x_n ) = T(x_0),$$

da $T: X \mapsto X$ Lipschitz-stetig und somit auch stetig ist. Wir bemerken zuerst, dass $d(x_2,x_3) = d(T(x_1),T(x_2)) \leq \lambda d(x_1,x_2)$ und allgemeiner

$$d(x_n,x_{n+1}) \leq \lambda^{n-1}d(x_1,x_2)$$

für alle $x \in \mathbb{N}$. In der Tat folgt aus der obigen Ungleichung mittels Induktion $n$. Für $n = 1$ ist die Ungleichung tautologisch erfüllt. Falls die Ungleichung bereits für $n$ gilt, dann folgt

$$d(x_{n+1},x_{n+2}) = d(T(x_n),T(x_{n+1})) \leq \lambda d(x_n,x_{n+1}) \leq \lambda^{n} d(x_1,x_2)$$

nach Konstruktion, der Vorraussetzung im Satz und der Induktionsverankerung. Wir behaupten nun, dass die Ungleichung impliziert, dass $(x_n)_n$ eine Cauchy-Folge in $X$ bildet. Daraus folgt mit der vorausgesetzten Vollständigkeit, dass ein Grenzwert $x_0$ der Folge $(x_n)_n$ existiert, was den Beweis abschliesst. Sei $\epsilon > 0$. Dann existiert ein $N \in \mathbb{N}$ mit $\frac{\lambda^{N-1}}{1- \lambda}d(x_1,x_2) < \epsilon.$ Für $n > m \geq N$ folgt damit

$$d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x_{m+1}) + d(x_{m+1},x_{m+2}) + ... +d(x_{n-1},x_n)$$

$$\leq \lambda^{m-1}d(x_1,x_2) + \lambda^m d(x_1,x_2) + ... + \lambda^{n-2} d(x_1, x_2)$$

$$\leq \sum_{k = N}^{\infty} \lambda^{k-1} d(x_1,x_2) = \frac{\lambda^{N-1}}{1-\lambda} d(x_1,x_2) < \epsilon \\:\\:\\:\square$$