Sei $U \in \mathbb{R}^2$ offen und $f$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $U$. Seien $a < b$ und $c < d$ reelle Zahlen, sodass $[a,b] \times [c,d] \subseteq U$ ist, und sei $\varphi : [a,b] \mapsto [c,d]$ stetig und stückweise stetig differenzierbar. Für den Bereich

$$B = \\{(x,y) \in U \:|\: x\in [a,b], \:c \leq y \leq \varphi(x)\\}$$

gilt dann

$$\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{dn}$$

Wir nehmen o.B.d.A. an, dass $\varphi$ auf ganz $[a,b]$ stetig differenzierbar ist. In der Tat, falls $\varphi$ nur stückweise stetig differenzierbar ist, so zeteilen wir das Intervall $[a,b]$ in Teilintervalle, auf welchen $\varphi$ stetig differenzierbar ist. Wir definieren das Rechteck $Q = [a,b] \times [c,d]$ sowie

$$M = \max\\{||f(x,y)||, \text{ |div}(f)(x,y)|, \\:|\varphi'(x)| \\:|\\: (x,y) \in [a,b] \times [c,d]\\}$$

Sei $\varepsilon > 0$. Wir wählen zuerst ein $\eta < \varepsilon$ nach der gleichmässigen Stetigkeit von $f_1$ und $f_2$ auf $Q$, so dass für alle $(x,y),(\tilde{x},\tilde{y}) \in Q$ mit $||(x,y) - (\tilde{x},\tilde{y})||_{\infty} < \eta$ die Abschätzungen

$$|f_1(x,y)-f_1(\tilde{x},\tilde{y})| < \varepsilon, \\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\: |f_2(x,y) - f_2(\tilde{x},\tilde{y})| < \varepsilon$$

gelten. Des Weiteren wählen wir nach der gleichmässigen Stetigkeit von $\varphi, \varphi'$ ein $\delta < \eta$, so dass für $x,\tilde{x} \in [a,b]$ mit $|x-\tilde{x}| < \delta$ auch

$$|\varphi(x)- \varphi(\tilde{x})| < \eta < \varepsilon \\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\: |\varphi'(x) - \varphi'(\tilde{x})| < \varepsilon$$

gilt. Sei $\zeta = \{a = x_0 < ... < x_J = b \}$ eine Zerlegung von $[a,b]$ mit Maschenweite kleiner als $\delta.$ Wir zerlegen B in dünne Streifen $B_1,...,B_J$, wobei

$$B_j = B \cap([x_{j-1},x_j] \times \mathbb{R}) = \{(x,y) \in U \:|\:x \in [x_{j-1},x_j], \:x \leq y \leq \varphi(x)\}$$

für $j = 1,...,J$. Auch definieren wir

$$Q_j = [x_{j-1},x_j] \times [c, \varphi(x_{j-1})]$$

für $j = 1,...,J$. Nach Wahl von $\delta$ und der Zerlegung $\zeta$ erhalten wir die Abschätzung

$$\text{vol}(B_j\Delta Q_j) \leq \varepsilon(x_j- x_{j-1})$$

Hierbei bezeichnet $B_j\Delta Q_j =(B_j \setminus Q_j) \cup (Q_j \setminus B_j)$ die symmetrische Differenz. Daher gilt auch

$$\Bigg |\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} - \sum_{j = 1}^J \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} \Bigg| \leq \sum_{j = 1}^J \Bigg | \int_{B_j} \text{div}(f) \text{ dvol}- \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} \Bigg |$$

$$\leq \sum_{j=1}^J M \varepsilon(x_j-x_{j-1}) = M(b-a)\varepsilon.$$

Insbesondere strebt das Flächenintegral über $\bigcup\limits_{j=1}^{J} Q_{j}$ für $\varepsilon \to 0$ gegen das Flächenintegral über $B$. Dann erhalten wir

$$\sum_{j=1}^{J} \int_{Q_j} \text{div}(f) \text{ dvol} = \sum_{j=1}^{J} \int_{\partial Q_j} f \\:\cdot\\: ß \text{ dn}$$

Weiter vereinfachen ergibt

$$\sum_{j=1}^{J} \int_{\partial Q_j} f \\:\cdot\\: \text{dn} = - \int_a^b f_2(x,c) \text{d}x + \int_c^{\varphi(b)} f_1(b,y) \text{d}y - \int_c^{\varphi(a)} f_1(a,y) \text{d}y$$

$$\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\:\\: + \sum_{j=1}^{J} \int_{x_{j-1}}^{x_j} f_2(x, \varphi(x_{j-1}) \text{ d}x - \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y $$

da sich die Integrale über die "unteren Ränder" zu einem Integral zusammenfügen und sich das Integral über den "rechten Rand" von $Q_j$ zum Teil mit dem Integral über den "linken Rand" von $Q_{j+1}$ weghebt. Die ersten drei Integrale stimmen bereits mit drei Integralen in der Definition $\int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{ dn}$ überein. Es bleibet also die verbleibenden Ausdrücke ab dem Summenzeichen mit dem Integral

$$\int_a^b \Big\langle f(x,\varphi(x)), \begin{pmatrix} -\varphi'(x) \\ 1 \end{pmatrix} \Big\rangle \text{ d}x = \int_a^b f_2(x,\varphi (x)) \text{ d}x - \int_a^b f_1(x,\varphi(x)) \varphi'(x) \text{ d}x$$

in der Definition von $\int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{ dn}$ zu vergleichen. Dabei erhalten wir

$$\Bigg | \sum_{j=1}^{J} \int_{x_j - 1}^{x_j} f_2(x,\varphi(x_{j-1})) \text{ d}x - \int_a^b f_2(x, \varphi(x)) \text{ d}x \Bigg |$$

$$\leq \sum_{j=1}^{J} \int_{x_j - 1}^{x_j} |f_2(x,\varphi(x_{j-1})) - f_2(x, \varphi(x)) | \text{ d}x \leq \varepsilon(b-a)$$

wegen $|\varphi(x_{j-1}) - \varphi(x)| < \eta$ für $x \in [x_{j-1},x_j]$ nach Wahl von $\delta$. Für die zweite Summe verwenden wir widerum den Mittelwertsatz und erhalten ein $\xi_j \in [x_{j-1},x_j]$ mit

$$\Bigg |\int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y - f_1(x_j, \varphi(x_j)) (\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})) \Bigg |$$

$$= \Bigg |\int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) - f_1(x_j, \varphi(x_j))) \text{ d}y \Bigg |$$

$$\leq \varepsilon |\varphi(x_j)-\varphi (x_{j-1})| = \varepsilon |\varphi'(\xi_j)(x_j-x_{j-1})|$$

$$\leq \varepsilon M(x_j-x_{j-1}).$$

Ebenso gilt aufgrund des Fundamentalsatzes des Differential und Integralrechnung die Abschätzung

$$\Bigg |\int_{x_{j-1}}^{x_j} f_1(x, \varphi(x))\varphi'(x) \text{ d}x - f_1(x_j, \varphi(x_j)) (\varphi(x_j)-\varphi(x_{j-1})) \Bigg |$$

$$= \Bigg |\int_{x_{j-1}}^{x_j} f_1(x, \varphi(x)) - f_1(x_j, \varphi(x_j)) \varphi'(x) \text{ d}x \Bigg |$$

$$\leq \varepsilon M (x_j-x_{j-1})$$

Kombinieren wir beide Abschätzungen und summieren über $j \in \{1,...,J\}$, so erhalten wir

$$\Bigg | \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y - \int_a^b f_1(x,\varphi(x))\varphi'(x) \text{ d}x \Bigg | \leq 2\varepsilon M (b-a).$$

Ingesamt haben wir also gezeigt, dass

$$\sum_{j=1}^{J} \int_{x_{j-1}}^{x_j} f_2(x,\varphi(x_{j-1})) \text{ d}x - \sum_{j=1}^{J} \int_{\varphi(x_{j-1})}^{\varphi(x_j)} f_1(x_j, y) \text{ d}y $$

für $\varepsilon \to 0$ gegen

$$\int_a^b \Big\langle f(x,\varphi(x)), \begin{pmatrix} -\varphi'(x) \\ 1 \end{pmatrix} \Big\rangle \text{ d}x$$

strebt. Dies impliziert die Proposition in dem Fall einer stetig differenzierbaren Funktion $\varphi$ auf $[a,b]. \square$