Divergenzssatz auf Rechtecken

Satz (Divergenzsatz auf Rechtecken)

Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^2\) eine offene Menge und sei \(f: (f_1,f_2)^t : U \mapsto \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann existiert für alle \(p \in U\) die sogenannte Divergenz oder Quellenstärke

\[(\text{div}(f))(p)=\lim_{h \mapsto 0} \frac{1}{4h^2} \int_{\partial (p+[-h,h]^2)} f \:\cdot\: \text{dn}\]

und ist durch

\[\text{div}(f) = \partial_1f_1 + \partial_2f_2\]

gegeben. Des Weiteren gilt für jedes abgeschlossene Rechteck \(B \subseteq U\)

\[\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{dn}\]

Beweis (Divergenzsatz auf Rechtecken)

Sei \(B = [a, b] \times [c,d] \subseteq U\) für reele Zahlen \(a < b\) und \(c < d\) ein Rechteck. Dann gilt

\[\int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{dn} = - \int_a^b f_2(x,c),\text{d}x + \int_c^d f_1(b,y),\text{d}y + \int_a^b f_2(x,d),\text{d}x - \int_c^d f_1(a,y),\text{d}y\] \[= \int_a^b (f_2(x,d)-f_2(x,c)),\text{d}x + \int_c^d (f_1(b,y)-f_1(a,y)),\text{d}y\] \[= \int_a^b \int_c^d \partial_2 f_2(x,y),\text{d}y\text{d}x + \int_c^d \int_a^b \partial_1 f_1(x,y),\text{d}x\text{d}y\]

nach dem Fundamentalsatz der Integral- und Differenzialrechnung. Mit dem Satz von Fubini erhalten wir also

\[\int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{d}n = \int_B (\partial_1 f_1 + \partial_2 f_2) \text{ dvol.}\]

Wir verwenden dies nun, um die Existenz des Grenzwerts in der Definition der Divergenz und die Formel \(\text{div}(f) = \partial_1 f_1 + \partial_2 f_2\) zu beweisen. Sei \(p \in U\) und \(h > 0\) so, dass

\[B_h = p + [-h,h]^2 \subseteq U.\]

Dann gilt (da in obigem B ein beliebiges Rechteck in U war)

\[\int_{\partial B_h} f \:\cdot\: \text{d}n = \int_{B_h} (\partial_1 f_1 + \partial_2f_2) \text{ dvol}\]

und damit