Sei $U \subseteq \mathbb{R}^2$ eine offene Menge und sei $f: (f_1,f_2)^t : U \mapsto \mathbb{R}^2$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann existiert für alle $p \in U$ die sogenannte Divergenz oder Quellenstärke

$$(\text{div}(f))(p)=\lim_{h \mapsto 0} \frac{1}{4h^2} \int_{\partial (p+[-h,h]^2)} f \\:\cdot\\: \text{dn}$$

und ist durch

$$\text{div}(f) = \partial_1f_1 + \partial_2f_2$$

gegeben. Des Weiteren gilt für jedes abgeschlossene Rechteck $B \subseteq U$

$$\int_B \text{div}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{dn}$$

Sei $B = [a, b] \times [c,d] \subseteq U$ für reele Zahlen $a < b$ und $c < d$ ein Rechteck. Dann gilt

$$\int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{dn} = - \int_a^b f_2(x,c)\,\text{d}x + \int_c^d f_1(b,y)\,\text{d}y + \int_a^b f_2(x,d)\,\text{d}x - \int_c^d f_1(a,y)\,\text{d}y$$

$$= \int_a^b (f_2(x,d)-f_2(x,c))\,\text{d}x + \int_c^d (f_1(b,y)-f_1(a,y))\,\text{d}y$$

$$= \int_a^b \int_c^d \partial_2 f_2(x,y)\,\text{d}y\text{d}x + \int_c^d \int_a^b \partial_1 f_1(x,y)\,\text{d}x\text{d}y$$

nach dem Fundamentalsatz der Integral- und Differenzialrechnung. Mit dem Satz von Fubini erhalten wir also

$$\int_{\partial B} f \\:\cdot\\: \text{d}n = \int_B (\partial_1 f_1 + \partial_2 f_2) \text{ dvol.}$$

Wir verwenden dies nun, um die Existenz des Grenzwerts in der Definition der Divergenz und die Formel $\text{div}(f) = \partial_1 f_1 + \partial_2 f_2$ zu beweisen.

Sei $p \in U$ und $h > 0$ so, dass

$$B_h = p + [-h,h]^2 \subseteq U.$$

Dann gilt (da in obigem B ein beliebiges Rechteck in U war)

$$\int_{\partial B_h} f \\:\cdot\\: \text{d}n = \int_{B_h} (\partial_1 f_1 + \partial_2f_2) \text{ dvol}$$

und damit