# Mittelwersatz der Integralrechnung

### <u>Satz</u> (Mittelwersatz der Integralrechnung)

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit Endpunkten $a < b$ und $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ stetig. Dann existiert ein $\epsilon \in (a,b)$ mit

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(\epsilon)(b-a).$$

### <u>Beweis</u> (Mittelwersatz der Integralrechnung)

Nach dem Extremwertsatz nimmt die stetige Funktion $f$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ ihr Minimum $m \in \mathbb{R}$ und ihr Maximum $M \in \mathbb{R}$ an. Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt

$$\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b m\,dx = (b-a)\cdot m$$

$$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b M\,dx = (b-a)\cdot M$$

Wir erhalten also:

$$m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \le M$$

Somit gibt es nach dem [[Zwischenwertsatz|Mathematik/Zwischenwertsatz]] ein $\epsilon \in [a,b]$ mit 

$$f(\epsilon) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$$

$$\implies (b-a) \cdot f(\epsilon) = \int_a^b f(x)\,dx. \square$$