Mittelwersatz der Integralrechnung

Satz (Mittelwersatz der Integralrechnung)

Sei \([a,b]\) ein kompaktes Intervall mit Endpunkten \(a < b\) und \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig. Dann existiert ein \(\epsilon \in (a,b)\) mit

\[\int_a^b f(x),dx = f(\epsilon)(b-a).\]

Beweis (Mittelwersatz der Integralrechnung)

Nach dem Extremwertsatz nimmt die stetige Funktion \(f\) auf dem kompakten Intervall \([a,b]\) ihr Minimum \(m \in \mathbb{R}\) und ihr Maximum \(M \in \mathbb{R}\) an. Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt

\[\int_a^b f(x),dx \ge \int_a^b m,dx = (b-a)\cdot m\] \[\int_a^b f(x),dx \le \int_a^b M,dx = (b-a)\cdot M\]

Wir erhalten also:

\[m \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x),dx \le M\]

Somit gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein \(\epsilon \in [a,b]\) mit

\[f(\epsilon) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x),dx\] \[\implies (b-a) \cdot f(\epsilon) = \int_a^b f(x),dx. \square\]