Sei $[a, b]$ ein kompaktes Intervall mit $a < b$ und $f: [a, b] \mapsto \mathbb{R}$ eine stetige Funktion, die auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist. Falls $f(a) = f(b)$ ist, so existiert ein $\xi \in (a, b)$ sodass $f'(\xi) = 0$.

Nach dem Extremwertsatz werden Maximum und Minimum von $f$ auf $[a, b]$ angenommen. Das heißt, es existieren $x_{min}, x_{max} \in [a, b]$ mit:

$$f(x_{min}) = min(f([a, b])),\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;f(x_{max}) = max(f([a, b])).$$

Die Ableitung von $f$ muss in allen Punkten $(a, b)$, wo ein Extremum angenommen wird, Null sein. Falls also $x_{min} \in (a,b)$ oder $x_{max} \in (a,b)$ gilt, dann haben wir bereits ein $\xi \in (a,b)$ gefunden mit $f'(\xi) = 0$ (wobei $\xi = x_{min}$ oder $\xi = x_{max}$ ist). Falls aber $x_{min}$ oder $x_{max}$ Endpunkte des Intervalles sind, dann muss wegen $f(a) = f(b)$ auch $f(x_{min}) = f(x_{max})$ gelten, womit die Funktion $f$ einfach konstant ist und $f'(x) = 0$ für alle $x \in (a,b)$ gilt. $\square$

Sei $[a,b]$ ein kompaktes Intervall mit $a < b$ und $f: [a,b] \mapsto \mathbb{R}$ eine stetige Funktion, welche auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar ist. Dann gibt $\xi \in [a,b]$ mit:

$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

Wir definieren eine Funktion $F:[a, b] \mapsto \mathbb{R}$ durch

$$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

für alle $x \in [a,b]$. Dann gilt $F(b) = f(b)-(f(b)-f(a)) = f(a)$.

Des Weiteren ist $F$ stetig an den Endpunkten und differenzierbar auf $(a,b)$. Nach dem Satz von Rolle existiert also ein $\xi \in (a,b)$ so dass

$$0 = F'(\xi) = f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ wie gewünscht. $\square$