Riemann-Integrierbarkeit monotoner Funktionen

Satz (Riemann-Integrierbarkeit monotoner Funktionen)

Jede monotone Funktion in \(\mathcal{F}([a,b])\) ist Riemann-integrierbar.

Beweis (Riemann-Integrierbarkeit monotoner Funktionen)

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir eine monoton wachsende Funktion \(f \in \mathcal{F}([a,b])\) betrachten (ansonsten ersetzt man \(f\) mit \(-f\)). Als nächstes wollen wir für ein gegebenes \(\epsilon > 0\) zwei Treppenfunktionen \(u, o \in \mathcal{TF}([a,b])\) finden, sodass \(u \le f \le o\) und \(\int_{a}^{b} ( o - u ) (x)\,dx < \epsilon\) gilt.

Wir konstruieren \(u\) und \(o\) mittels einer natürlichen Zahl \(n \in \mathbb{N}\) (die wir später wählen werden) und der Zerlegung

\[\zeta = {a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} =b}\]

von \([a,b]\) gegeben durch \(x_{k} = a + \frac{b - a}{n}\) für \(k = \{0,...,n\}\). Seien \(u,o\) gegeben durch

\[ u(x) = f(x_{k-1}), falls\; x \in [x_{k-1},x_{k})\;für\;ein\;k\in{1,...,n}\] \[ u(x) = f(b), falls\; x = b\] \[ o(x) = f(a), falls\;x = a \] \[o(x) = f(x_{k}), falls\; x \in (x_{k-1},x_{k}]\;für\;ein\;k\in{1,...,n}\]

für alle \(x \in [a,b]\).

Da \(f\) monoton wachsend ist, gilt \(u \le f \le o\). In der Tat ist für \(x \in [a,b]\) entweder \(x = b\), womit \(u(x) = f(x)\), oder es gibt ein \(k \in \{1,...,n\}\) mit \(x \in [x_{k-1}, x_{k})\).

Im letzteren Fall erhalten wir \(u(x) = f(x_{k-1}) \le f(x)\) und somit gilt \(u \le f\). Ein analoges Argument liefert \(f \le o\). Des weiteren gilt

\[\int_{a}^{b} (o-u)(x),dx = \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1}))(x_{k}-x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1})) \frac{b-a}{n} \] \[= \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1})) = \frac{b-a}{n} (f(b)-f(a))\]

nach Vereinfachen der Teleskop-Summe. Nach dem Archimedischen Prinzip können wir nun ein \(n\) so wählen, sodass \(\int_{a}^{b} (o-u)(x)\,dx < \epsilon\) ist. Somit folgt, dass \(f\) Riemann-intergrierbar ist. \(\square\)