Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Satz (Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall \([a,b]\) mit \(a < b\) ist Riemann-intergrierbar.

Beweis (Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Sei \(f \in C([a,b])\) und \(\epsilon > 0\). Wir können annehmen, dass \(f\) gleichmäßig stetig ist und es gibt ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x, y \in [a,b]\) gilt

\[|x-y|<\epsilon \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon\]

Sei \(\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b\}\) eine Zerlegung von \([a,b]\) mit

\[\max_{k=1,...,n}|x_{k} - x_{k-1}| < \delta\]

Zum Beispiel können wir die Zerlegung durch \(x_{k} = a + k\frac{b-a}{n}\) für \(k = \{0,...,n\}\) und ein hinreichend großes \(n \in \mathbb{N}\) definieren.

Wir definieren für jedes \(k \in \{1,...,n\}\) die Zahlen

\[m_{k} = \min f([x_{k-1},x_{k}])\] \[M_{k} = \max f([x_{k-1},x_{k}])\]

wobei wir die Existenz von Minimum und Maximum verwendet haben.

Wir behaupten nun, dass für alle \(k \in \{1,...,n\}\)

\[M_{k} - m_{k} < \epsilon\]

gilt. In der Tat ist \(m_{k} = f(z_{min})\) und \(M_{k} = f(z_{max})\) für \(z_{min}, z_{max} \in [x_{k-1}, x_{k}]\). Da aber \(x_{k} - x_{k-1} < \delta\) ist, haben wir auch \(|z_{min} - z_{max}| < \delta\). Auf Grund der Wahl von \(\delta\) erhalten wir also unsere Behauptung \(M_{k} - m_{k} = f(z_{max}) - f(z_{min}) < \epsilon\).

Wir definieren Treppenfunktionen \(u, o\) durch

\[ u(x) = m_{k}, \text{ falls } x \in [x_{k-1},x_{k})\;für\;ein\;k\in{1,...,n}\] \[ u(x) = m_{n}, \text{ falls } x = b\] \[ o(x) = M_{k}, \text{ falls } x \in [x_{k-1},x_{k})\;für\;ein\;k\in{1,...,n}\] \[ o(x) = M_{n}, \text{ falls } x = b\]

für \(x \in [a,b]\).

Nach Definition von \(m_{k},M_{k}\) für \(k \in \{1,...,n\}\) gilt daher \(u \le f \le o\). Des Weiteren ist

\[\int_{a}^{b} (o-u)(x),dx = \sum_{k=1}^{n} (M_{k} -m_{k})(x_{k}-x_{k-1}) < \epsilon \sum_{k=1}^{n} (x_{k} - x_{k-1}) = \epsilon (b-a).\]

Da \(\epsilon > 0\) beliebig war (und \(b-a\) fix ist), zeigt dies, dass \(f\) Riemann-integrierbar ist. \(\square\)