Jede monotone Funktion in $\mathcal{F}([a,b])$ ist Riemann-integrierbar.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir eine monoton wachsende Funktion $f \in \mathcal{F}([a,b])$ betrachten (ansonsten ersetzt man $f$ mit $-f$). Als nächstes wollen wir für ein gegebenes $\epsilon > 0$ zwei Treppenfunktionen $u, o \in \mathcal{TF}([a,b])$ finden, sodass $u \le f \le o$ und $\int_{a}^{b} ( o - u ) (x)\,dx < \epsilon$ gilt.

Wir konstruieren $u$ und $o$ mittels einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$ (die wir später wählen werden) und der Zerlegung

$$\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} =b\}$$

von $[a,b]$ gegeben durch $x_{k} = a + \frac{b - a}{n}$ für $k = \{0,...,n\}$. Seien $u,o$ gegeben durch

$$ u(x) = f(x_{k-1}), falls\\; x \in [x_{k-1},x_{k})\\;für\\;ein\\;k\in\{1,...,n\}$$

$$ u(x) = f(b), falls\\; x = b$$

$$ o(x) = f(a), falls\\;x = a $$

$$o(x) = f(x_{k}), falls\\; x \in (x_{k-1},x_{k}]\\;für\\;ein\\;k\in\{1,...,n\}$$

für alle $x \in [a,b]$.

Da $f$ monoton wachsend ist, gilt $u \le f \le o$. In der Tat ist für $x \in [a,b]$ entweder $x = b$, womit $u(x) = f(x)$, oder es gibt ein $k \in \{1,...,n\}$ mit $x \in [x_{k-1}, x_{k})$.

Im letzteren Fall erhalten wir $u(x) = f(x_{k-1}) \le f(x)$ und somit gilt $u \le f$. Ein analoges Argument liefert $f \le o$. Des weiteren gilt

$$\int_{a}^{b} (o-u)(x)\,dx = \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1}))(x_{k}-x_{k-1}) = \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1})) \frac{b-a}{n} $$

$$= \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} (f(x_{k}) - f(x_{k-1})) = \frac{b-a}{n} (f(b)-f(a))$$

nach Vereinfachen der Teleskop-Summe. Nach dem Archimedischen Prinzip können wir nun ein $n$ so wählen, sodass $\int_{a}^{b} (o-u)(x)\,dx < \epsilon$ ist. Somit folgt, dass $f$ Riemann-intergrierbar ist. $\square$