Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ mit $a < b$ ist Riemann-intergrierbar.

Sei $f \in C([a,b])$ und $\epsilon > 0$. Wir können annehmen, dass $f$ gleichmäßig stetig ist und es gibt ein $\delta > 0$, sodass für alle $x, y \in [a,b]$ gilt

$$|x-y|<\epsilon \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Sei $\zeta = \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b\}$ eine Zerlegung von $[a,b]$ mit

$$\max_{k=1,...,n}|x_{k} - x_{k-1}| < \delta$$

Zum Beispiel können wir die Zerlegung durch $x_{k} = a + k\frac{b-a}{n}$ für $k = \{0,...,n\}$ und ein hinreichend großes $n \in \mathbb{N}$ definieren.

Wir definieren für jedes $k \in \{1,...,n\}$ die Zahlen

$$m_{k} = \min f([x_{k-1},x_{k}])$$

$$M_{k} = \max f([x_{k-1},x_{k}])$$

wobei wir die Existenz von Minimum und Maximum verwendet haben.

Wir behaupten nun, dass für alle $k \in \{1,...,n\}$

$$M_{k} - m_{k} < \epsilon$$

gilt. In der Tat ist $m_{k} = f(z_{min})$ und $M_{k} = f(z_{max})$ für $z_{min}, z_{max} \in [x_{k-1}, x_{k}]$. Da aber $x_{k} - x_{k-1} < \delta$ ist, haben wir auch $|z_{min} - z_{max}| < \delta$. Auf Grund der Wahl von $\delta$ erhalten wir also unsere Behauptung $M_{k} - m_{k} = f(z_{max}) - f(z_{min}) < \epsilon$.

Wir definieren Treppenfunktionen $u, o$ durch

$$ u(x) = m_{k}, \text{ falls } x \in [x_{k-1},x_{k})\\;für\\;ein\\;k\\in\{1,...,n\}$$

$$ u(x) = m_{n}, \text{ falls } x = b$$

$$ o(x) = M_{k}, \text{ falls } x \in [x_{k-1},x_{k})\\;für\\;ein\\;k\in\{1,...,n\}$$

$$ o(x) = M_{n}, \text{ falls } x = b$$

für $x \in [a,b]$.

Nach Definition von $m_{k},M_{k}$ für $k \in \{1,...,n\}$ gilt daher $u \le f \le o$. Des Weiteren ist

$$\int_{a}^{b} (o-u)(x)\,dx = \sum_{k=1}^{n} (M_{k} -m_{k})(x_{k}-x_{k-1}) < \epsilon \sum_{k=1}^{n} (x_{k} - x_{k-1}) = \epsilon (b-a).$$

Da $\epsilon > 0$ beliebig war (und $b-a$ fix ist), zeigt dies, dass $f$ Riemann-integrierbar ist. $\square$