Sei $r > 0$ ein Radius und seien $x_0 \in \mathbb{R}^n$, $y_0 \in \mathbb{R}^m$ Punkte. Wir betrachten die offene Teilmenge

$$B_r^{\mathbb{R}^n} (x_0) \times B_r^{\mathbb{R}^m} (y_0) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \:|\: ||x-x_0||_2 < r \: \text{und} \: ||y-y_0||_2 < r \}$$

von $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m$. Sei $F: B_r^{\mathbb{R}^n} (x_0) \times B_r^{\mathbb{R}^m} (y_0) \mapsto \mathbb{R}^m$ eine stetige Funktion, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

- $F(x_0,y_0) = 0.$

- Die partiellen Ableitungen

${\partial_y}_k F : B_r^{\mathbb{R}^n} (x_0) \times B_r^{\mathbb{R}^m} (y_0) \mapsto \mathbb{R}^m$

existieren für alle $k \in \{1,...,m\}$ und sind auf $B_r^{\mathbb{R}^n} (x_0) \times B_r^{\mathbb{R}^m} (y_0)$ stetig.

- Die totale Ableitung A bei $y_0$ der Abbildung $y \in B_r (y_0) \mapsto F(x_0,y)$ ist invertierbar, das heisst, die Matrix $A = ({\partial_y}_k F_j (x_0,y_0))_{j,k} \in \text{Mat}_{m,m} (\mathbb{R})$ hat nicht-verschwindende Determinante.

Dann existiert ein offener Ball $U_0 = B_\alpha(x_0)$ um $x_0$ und ein offener Ball $V_0 = B_\beta (y_0)$ um $y_0$ mit $\alpha, \beta \in (0,r)$ und eine stetige Funktion $f: U_0 \mapsto V_0$, so dass alle $(x,y) \in U_0 \times V_0$ die Gleichung $F(x,y) = 0$ genau dann gilt, wenn $y = f(x)$ gilt. Insbesondere ist $f(x_0) = y_0.$

Da wir zu einem jeweils fest gewählten $x$ ein $y$ mit $F(x,y) = 0$ suchen wollen, wird die Notation $F_x(y) = F(x,y)$ für $(x,y) \in B_r (x_0) \times B_r (y_0)$ nützlich sein. Wir verwenden diese bereits, um für ein festes $x \in B_r (x_0)$ die Hilfsfunktion

$$T_x : y \in B_r(y_0) \mapsto y-A^{-1} F_x(y) \in \mathbb{R}^m$$

zu definieren. Diese entspricht gerade der Iterationsvorschrift im Newton-Verfahren, wobei wir allerdings die Ableitung von $F_x$ bei $y$ schlicht durch $A = {D_y}_0 {F_x}_0$ ersetzt haben. Trotz dieser Änderung bemerken wir, dass für $(x,y) \in B_r(x_0) \times B_r(y_0)$ die Gleichung $F(x,y) = 0$ zur Fixpunktgleichung $T_x(y) = y$ äquivalent ist.

Die Abbildung $T_x$ als Lipschitz-Kontraktion: Sei $x \in B_r(x_0).$ Nach Annahme ist $F_x$ auf $B_r(y_0)$ eine stetig differenzierbare Funktion, womit nach der Kettenregel $T_x$ ebenso stetig differenzierbar ist mit Ableitung

$$D_yT_x = I_m - A^{-1} (A-D_yF_x)$$

für $y \in B_r(y_0)$, wobei $I_m \in \text{Mat}_{m,m} (\mathbb{R})$ die Identitätsmatrix bezeichnet. Für $x = x_0$ und $y = y_0$ ergibt sich damit

$$D_{y_0} T_{x_0} = A^{-1}(A-D_{y_0} T_{x_0}) = 0.$$

Aufgrund der angenommenen Stetigkeit von $(x,y) \in B_r(x_0) \times B_r(y_0) \mapsto D_yF_x$ existiert also ein $\delta \in (0,r)$, sodass für alle $(x,y) \in B_\delta(x_0) \times B_\delta(y_0)$ die Abschätzung $||D_yF_x||_{op} \leq \frac{1}{2}$ gilt. Wir, zeigen, dass dies die Lipschitz-Kontraktionseigenschaft impliziert. In der Tat folgt für $x \in B_\delta (x_0)$ und $y_1,y_2 \in B_\delta (y_0)$ mit Hilfe des geraden Weges $\gamma : t \in [0,1] \mapsto (1-t)y_1+ty_2$ von $y_1$ nach $y_2$

$$||T_x(y_1)-T_x(y_2)|| = ||T_x \circ \gamma(1)-T_x \circ \gamma(0)|| = \Bigg|\Bigg|\int_0^1 (T_x \circ \gamma)'(t) dt \Bigg|\Bigg|$$

$$\leq \int_0^1 ||D_{\gamma(t)}T_x(y_2-y_1)|| dt \leq \int_0^1|| D_{\gamma(t)}T_x||_{\text{op}}||(y_2-y_1)||dt \leq \frac{1}{2}||y_2-y_1||.$$

Sei nun $\beta = \frac{\delta}{2}$, $V_0 = B_\beta (y_0)$ und $Y = \overline{B_\beta(y_0)}.$ Wir erhalten also, dass für jedes fest gewählte $x \in B_\delta(x_0)$ die eingeschränkte Abbildung

$$T_x: Y \mapsto \mathbb{R}^m, \\:\\:\\:y \mapsto T_x(y) =y -A^{-1} F_x(y),$$

die eine Lipschitz-Kontraktion mit Lipschitz-Konstante $\frac{1}{2}$ ist. Um den Banachschen Fixpunktsatz anweden zu können, müssen wir noch $T_x(Y) \subseteq Y$ zeigen.

Nach Stetigkeit von $F$ und wegen $F(x_0,y_0) = 0$ existiert ein $\alpha \in (0,\delta)$, sodass für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ die Abschätzung

$$||T_x(y_0)-y_0||=||A^{-1} F(x,y_0)|| < \frac{\beta}{3}$$

gilt. Falls nun $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ und $y \in Y = \overline{B_\beta(y_0)}$ sind, dann folgt

$$||T_x(y)-y_0|| = ||T_x(y)-T_x(y_0) + T_x(y_0)-y_0||$$

$$\leq || T_x(y)-T_x(y_0)|| + || T_x(y_0)-(y_0)||$$

$$\leq \frac{1}{2}||y-y_0||+\frac{\beta}{3} \leq \frac{5}{6}\beta < \beta.$$

Für $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ und den oben definierten, vollständigen metrischen Raum $Y = \overline{B_\beta(y_0)}$ gilt daher $T_x(Y) \subseteq Y$. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz folgt, dass es einen eindeutig bestimmten Punkt $y \in Y$ mit $T_x(y)=y$ gibt. Es gilt außerdem $||y-y_0|| < \beta$.

Zusammenfassend haben wir also gezeigt, dass es für jedes $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ ein eindeutig bestimmten Punkt $y = y(x) \in \overline{B_\beta(y_0)}$ mit $F(x,y) = 0$ gibt, welches zusätzlich auch $y \in \overline{B_\beta(y_0)}$ erfüllt. Dies definiert somit eine Funktion $f : \overline{B_\alpha(x_0)} \mapsto B_\beta(y_0)$ mit der Eigenschaft $F(x,f(x)) = 0$ für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$.

Um die Stetigkeit von $f$ zu zeigen, wiederholen wir obiges Argument für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ "gleichzeitig". Wir betrachten dazu die Teilmenge

$$\tilde{Y} = \{g: \overline{B_\alpha(x_0)} \mapsto Y \:|\: g \text{ ist stetig} \} \subseteq C(\overline{B_\alpha(x_0)}, \mathbb{R}^m)$$

$C(\overline{B_\alpha(x_0)}, \mathbb{R}^m)$ ist ausgestattet mit der Supremumsnorm

ein vollständiger metrischer Raum. Da $Y$ abgeschlossen ist, folgt des Weiteren, dass $\tilde{Y}$ als abgeschlossene Teilmenge ebenso vollständig ist.

Zu einer Funktion $g \in \tilde{Y}$ definieren wir nun die Funktion

$$\tilde{T}g:x \in \overline{B_\alpha(x_0)} \mapsto T_x(g(x)) = g(x) - A^{-1} F(x,g(x))$$

welche aufgrund von der Stetigkeit von $g \in \tilde{Y}$ und $F$ wiederum stetig ist. Für $g \in \tilde{Y}$ gitl nach Definition $||g(x)-y_0|| \leq \beta$ für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ und somit gilt auch $||\tilde{Y}g(x) - y_0|| < \beta$ für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$, wodurch $\tilde{T}g$ ebenso in $\tilde{Y}$ liegt. Schlussendlich gilt für $g_1,g_2 \in \tilde{Y}$ und $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$

$$||(\tilde{T}g_1 - \tilde{T}g_2)(x)|| = ||T_x(g_1(x)) - T_x(g_2(x))|| \leq \frac{1}{2}||g_1(x)-g_2(x)||$$

$$\leq \frac{1}{2}||g_1-g_2||_\infty$$

da $T_x$ Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante $\frac{1}{2}$.

Dies zeigt, dass $\tilde{T} = \tilde{Y} - \tilde{Y}$ eine Lipschitz-Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum darstellt und damit nach dem Banachschen Fixpunktsatz einen eindeutig bestimmten Finxpunkt besitzt. Sei $y \in \tilde{T}y$ dieser Fixpunkt. Dann ist $y$ stetig und für alle $x \in \overline{B_\alpha(x_0)}$ gilt $y(x) = \tilde{T}y(x) = T_x(y(x)) \in \overline{B_\beta(y_0)}$, wodurch $y(x) = f(x)$ die eindeutige Lösung der Gleichung $F(x,y) = 0$ mit $y \in \overline{B_\beta(y_0)}$ sein muss. $\square$