Seien $X \subseteq \mathbb{R}^n$ und $Y \subseteq \mathbb{R}^m$ zwei abgeschlossene Quader und sei $f: X \times Y \mapsto \mathbb{R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann existiert das Parameterintegral

$$x \in X \mapsto \int_{Y} f(x,y) \;\text{dvol}(y)$$

für fast alle $x \in X$ und es gilt

Jede Zerlegung von $X \times Y$ hat die Form $\zeta = (\zeta_X, \zeta_Y)$ für Zerlegungen $\zeta_X$ von X und $\zeta_Y$ von Y und die $\zeta$ entsprechenden offenen Quader $Q_\alpha$ haben genau die Form $Q_\alpha = O_\beta \times P_\gamma$ für offene Quader $O_\beta \sqsubset \zeta_X$ und $P_\gamma \sqsubset \zeta_Y.$ Nach Definition des Volumens von Quadern gilt des Weiteren

wobei wir $\text{vol}_n$ für das Volumen von Quadern im $\mathbb{R}^n$ schreiben.Mit diesen Vorbereitungen betrachten wir nun die Funktion $F$ mit $\underline{I}(f_x) \leq F(x) \leq \bar{I}(f_x)$ für alle $x \in X$. Es folgt mit einigen weiteren Überlegungen

für eine Zerlegung $\zeta = (\zeta_X, \zeta_Y)$ von $X \times Y.$ Um die Ungleichung zu beweisen, bemerken wir zuerst, dass

$$\inf f(O_\beta \times P_\gamma) = \inf\{f(x,y) \:|\: x \in O_\beta \text{ und } y \in P_\gamma\}$$

$$\leq \inf \{f(x_0, y) \:|\: y \in P_\gamma\}$$

für alle $x_0 \in O_\beta \sqsubset \zeta_X$ und $P_\gamma \sqsubset \zeta_Y$ gilt. Wir multiplizieren dies mit $\text{vol}_m(P_\gamma)$ und summieren über $P_\gamma \sqsubset \zeta_Y$, was

$$= U(f_{x_0},\zeta_Y)$$

für alle $x_0 \in O_\beta \subseteq \zeta_X$ impliziert. Da $x_0 \in O_\beta$ aber beliebig ist, erhalten wir daher

und damit die Ungleichung von vorhin nach Multiplikation mit $\text{vol}_m(O_\beta)$ und Summation über $O_\beta \sqsubset \zeta_X.$ Die Ungleichung $U(f_x, \zeta_Y) \leq \underline{I}(f_x)$ für $x \in X$ folgt direkt aus der Definition des unteren Integrals $\underline{I}(f_x)$ als Supremum aller Untersummen und impliziert die Ungleichung. Zuletzt gilt die letzte Ungleichung, da $\underline{I}(f_x) \leq F(x)$ vorrausgesetzt wurde.

Analog ist $O(F, \zeta_X) \leq O(f,\zeta)$ und es gilt

$$U(f,\zeta) \leq U(F, \zeta_X) \leq O(F,\zeta_X) \leq O(f,\zeta).$$

Bei der Varation von $\zeta$ ergibt sich

$$\underline{I}(f) \leq \underline{I}(F) \leq \bar{I}(F) \leq \bar{I}(f).$$

da aber $f$ per Annahme Riemann-integrierbar ist, gilt $\underline{I}(f) = \bar{I}(f)$. Also ist $F$ ebenfalls Riemann-integrierbar und es gilt

$$\int_{X \times Y} f(x,y)\text{ dvol}_{m+n}((x,y)) = \int_X F(x) \text{ dvol}_n (x).$$

Wir zeigen nun, dass die Funktion $f_x : y \in Y \mapsto f(x,y)$ für fast alle $x \in X$ Riemann-integrierbar ist. Dabei verwenden wir obiges sowohl für die Funktion $F$ definiert durch $x \in X \mapsto \underline{I}(f_x)$ als auch für die Funktion $x \in X \mapsto \bar{I}(f_x)$. Obiges zeigt, dass beide Funktionen auf $X$ Riemann-integrierbar und Integral $\int_{X \times Y} f \text{ dvol}_{m+n}$ besitzen. Wir schließen daraus, dass die Funktion

$$h : x \in X \mapsto \bar{I}(f_x) - \underline{I}(f_x) \in [0, \infty)$$

Riemann-integrierbar ist und

$$\int_X h(x) \text{ dvol}_n(x) = 0$$

genügt.

Nach dem Lebesgue-Kriterium ist $h$ in fast allen Punkten $x \in X$ stetig. Wir behaupten nun, dass $h(x_0) = 0$ für $x_0 \in X$ gelten muss, wenn $h$ in $x_0$ stetig ist. Daraus folgt, dass $\bar{I}(f_x) = \underline{I}(f_x)$ für fast alle $x \in X$ gilt, woraus schließlich der Satz folgt. Angenommen $x_0 \in X$ ist ein Stetigkeitspunkt von $h$, der $h(x_0) > 0$ erfüllt. Dann gibt es nach Stetigkeit ein $\delta > 0$ mit $h(x) = \frac{h(x_0)}{2} = \epsilon$ für alle $x \in B_\delta (x_0)$. Nun kann man aber einen offenen Quader $Q_0 \subseteq B_\delta(x_0)$ mit $x_0 \in Q_0$ finden, woraus $h \geq \epsilon \mathbb{1}_{Q_0}$ und somit $\int_X h(x) \text{ dvol}_n (x) \geq \epsilon \text{ dvol}_n (Q_0) > 0$ folgt. Dies widerspricht aber $\int_X h(x) \text{ dvol}_n (x) = 0. \square$