Eine Teilmenge $K \in \mathbb{R}^d$ für $d \geq 1$ ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in $\mathbb{R}^d$ eine konvergente Teilfolge.

Ist $K$ kompakt, dann ist $K$ nach den Notwendigen Eigenschaften für Kompaktheit abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung zeigen wir, dass $K$ folgenkompakt ist. Sei also $(x_n)_n$ eine Folge in $K$. Da $K$ beschränkt ist, ist die Folge beschränkt. Wir konstruieren nun iterativ eine konvergente Teilfolge von $(x_n)_n$. Da $(x_n)_n$ beschränkt ist, ist auch die Folge der Komponenten $\pi_1(x_n))_n$ beschränkt und besitzt somit nach dem Satz über die Konvergenz von Teilfolgen eine konvergente Teilfolge $\pi_1 (x_{n_k})_k$. Nach dem selben Argument besitzt die Folge der Komponenten $\pi_2 (x_{n_k})_k$ eine konvergente Teilfolge, wir bezeichnen diese mit $\pi_2 (x_{n_k})_k$. Setzt man dieses Argument fort, erhält man eine Teilfolge $(x_{n_k})_k$ mit der Eigenschaften, dass für alle $j \in \{1,...,d\}$ die Folge der Komponenten $\pi_j (x_{n_k})_k$. Nach der Proposition über die Äquivalenz des Konvergenzverhaltens einer Folge bezüglich verschiedener Normen ist somit auch $(x_{n_k})_k$ konvergent. Der Grenzwert $x \in \mathbb{R}^d$ dieser Teilfolge muss in $K$ liegen, da $K$ abgeschlossen ist. Dies beweist, dass jede Folge in $K$ eine konvergente Teilfolge besitzt; also ist $K$ kompakt. Ist $(x_n)_n$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^d$, so kann man $(x_n)_n$ als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen, womit auch sie letzte Aussage des Satzes folgt.