# Satz von Green

### <u>Satz</u> (Green)

Sei $f: U \mapsto \mathbb{R}^2$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge $U \subseteq \mathbb{R}^2.$ Die Wirbelstärke $\text{rot}(f)$ existiert auf ganz $U$ und erfüllt

$$\text{rot}(f) = \partial_1f_2 - \partial_2f_1.$$

Weiter gilt für jeden glatt berandeten, kompakten Bereich $B \subseteq U$

$$\int_B \text{rot}(f) \text{ dvol} = \int_{\partial B} f \:\cdot\:\text{ds}$$

### <u>Beweis</u> (Green)

Sei $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \text{SO}(2,\mathbb{R})$ die Rotationsmatrix zum Winkel $90$ Grad im Gegenuhrzeigersinn. Wir definieren ein Vektorfeld $g : U \mapsto \mathbb{R}^2$ durch

$$g = R^{-1}f= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2 \\ -f_1 \end{pmatrix}$$

wobei $f_1,f_2$ die Komponenten von $f$ darstellen. Dann gilt

$$\text{div}(g) = \partial_1g_1 + \partial_2 g_2 = \partial_1 f_2 - \partial_2 f_1$$

und nach Definition

$$\int_{\partial B} g \:\cdot\: \text{dn} = \int_{\partial B} (Rg) \:\cdot\: \text{ds} = \int_{\partial B} f \:\cdot\:\text{ds.}$$

Nach dem Divergenzssatz angewendet auf $g$ folgt also

$$\int_B (\partial_1f_2 - \partial_2f_1) \text{ dvol} =\int_{\partial B} f \:\cdot\: \text{ds}$$

für alle glatt berandeten Bereiche $B \subseteq U$. Wenden wir dies auf $B = \overline{ B_r (p) } \subseteq U$ für $p \in U$ und ein hinreichend kleines $r > 0$ an und verwenden die Stetigkeit von $(\partial_2 f_1 - \partial_1 f_2)$ auf $U$, so erhalten wir die Existenz des Grenzwertes und die Gleichung $\text{rot}(f) = \partial_1f_2 - \partial_2f_1. \square$