Eine reele Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Angenommen $(a_{n})_{n}$ ist eine reele Folge mit $a_{n} \to A \in \mathbb{R}$ für $n \to \infty$. Sei $\epsilon > 0$. Dann existiert ein $N \in \mathbb{N}$, so dass für alle $n \ge N$ gilt $|A - a_{n}| < \frac{\epsilon}{2}$. Für $m, n \ge N$ gilt somit auch

$$|a_{m} - a_{n}| \le |a_{m} - A| + |A - a_{n}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Dies beweist, dass $(a_{n})_{n}$ eine Cauchy-Folge ist.

Sei nun umgekehrt $(a_{n})_{n}$ eine Cauchy-Folge. Für $\epsilon = 1$ existiert dann ein $N \in \mathbb{N}$, so dass $|a_{m} - a_{n}| < 1$ für $m, n \ge N$. Insbesondere gilt also

$$|a_{n}| \le |a_{n} - a_{N}| + |a_{N}| < 1 + |a_{N}|$$

für alle $n \ge N$. Daher ist $(a_{n})_{n}$ eine beschränkte Folge. Des weiteren existiert nach Annahme für jedes $\epsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$, so dass $|a_{m}-a_{n}| < \epsilon$ für alle $m,n \ge N$.

Wir setzen $m = N$ und erhalten

$$a_{m} - \epsilon < a_{n} < a_{m} + \epsilon$$

Wir betrachten nun Limes Inferior und Limes Superior der Folge und erhalten

$$a_{m} - \epsilon \le \liminf_{n \to \infty} a_{n} \le \limsup_{n \to \infty} a_{n} \le a_{n} + \epsilon$$

Insbesondere gilt $|\liminf_{n \to \infty} a_{n} - \limsup_{n \to \infty} a_{n}| \le 2\epsilon$. Da aber $\epsilon > 0$ belibig war, erhalten wir Gleichheit von Limes Superior und Limes Inferior und daher die Konvergenz der Folge. $\square$