Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit

Satz (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit)

Sei \(D \subseteq \mathbb{C}\) und \(f_{n}: D \mapsto \mathbb{C}\) eine Funktionenfolge stetiger Funktionen. Falls \((f_{n})_{n}\) gleichmäßig gegen \(f: D \mapsto \mathbb{C}\) konvergiert, dann ist \(f\) ebenso stetig.

Beweis (Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit)

Sei \(x_{0} \in D\) und \(\epsilon > 0\). Dann existiert ein \(n \in \mathbb{N}\), sodass \(| f_{n}(x) - f(x) | < \epsilon\) für alle \(x \in D\). Da \(f_{n}\) bei \(x_{0}\) stetig ist, existiert ein \(\delta > 0\), sodass

\[|x-x_{0}| < \delta \implies |f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| < \epsilon \]

für alle \(x \in D\). Zusammengefasst gilt nun für alle \(x \in D\) mit \(|x-x_{0}| < \delta\), dass

\[|f(x) - f(x_{0})| \le |f(x) - f_{n}(x)| + |f(x) - f_{n}(x_{0})| + |f_{n}(x_{0}) - f(x_{0})| < 3\epsilon\]

Da \(\epsilon > 0\) beliebig war, ist \(f\) bei \(x_{0}\) stetig. Da \(x_{0} \in D\) beliebig war, folgt der Satz. \(\square\)